Chủ đề này có 4 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Có bao nhiêu đa thức $P(x)$ với các hệ số thuộc $\left\{0,1,2,3\right \}$ sao cho $P(2)=n$ (n nguyên dương).
2/ Gieo 1 con xúc xắc n lần. Tính xác suất để tổng các mặt xuất hiện là 1 số chia hết cho 5.

[Nobodyv3]

Duy ngã độc tôn!???

Hình gửi kèm

• 

[chuyenndu]

https://artofproblem...h374597p2067156

[Nobodyv3]

https://artofproblem...h374597p2067156

1/ Alternatively,
Đặt $P(x)= a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_kx^k+...$ ta tính số nghiệm của $ a_0+2a_1+4a_2+...+2^ka_k+...=n$ với $0\leq a_k\leq 3$. Số nghiệm là hệ số của $x^n$ trong :$$\begin {align*}
f(x)&=(1+x+x^2+x^3)(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^4+x^8+x^{12})...\\
&=\prod_{k=0}^{\infty }(1+x^{2^k}+x^{2.2^k}+x^{3.2^k})\\
&=\prod _{k=0}^{\infty } \frac {1-x^{2^k+2}}{1-x^{2^k}} =\frac {1}{(1-x)(1-x^2)}\\
&=\frac {1}{4}\cdot \frac {1}{(1-x)}+\frac {1}{2}\cdot \frac {1}{(1-x)^2} +\frac {1}{4}\cdot \frac {1}{(1+x)} \\
&=\sum_{n=0}^{\infty }\left ( \frac {1}{4}+ \frac {1}{4}(-1)^n+\frac {1}{2}(n+1) \right)x^n
\end{align*} $$Viết gọn lại thì đáp án là $\boldsymbol {\left \lfloor \frac {n}{2}
\right \rfloor+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 17-07-2023 - 23:45

[Nobodyv3]

2/Gọi $P$ là xác suất cần tìm. Ta có hàm sinh :$$
P(x)=\left ( \frac {x}{6}+\frac {x^2}{6}+\frac {x^3}{6}+\frac {x^4}{6}+\frac {x^5}{6}+\frac {x^6}{6} \right )^n=\frac {1}{6^n}\left ( \frac{x-x^7}{1-x} \right )^n$$Gọi $\omega ^{2\pi i/5}$ là một căn bậc 5 nguyên thủy của đơn vị thì $ \omega ^5=1$ và
$1^k+\omega ^k+\omega ^{2k}+\omega ^{3k}+\omega ^{4k}= \begin {cases}
5&&\text{nếu }5\mid k\\
0&&\text{nếu }5\nmid k
\end {cases}$ và
$P=\frac {P(1)+P(\omega )+P(\omega ^{2})+P(\omega ^{3})+P(\omega ^{4}) }{5}$.Ta có :
$$\ \begin {align*}
P(1)&=\frac {6^n}{6^n}\\
P(\omega )&=\frac {1}{6^n}\left ( \frac{\omega -\omega^7}{1-\omega} \right )^n\\
&=\frac {1}{6^n}\left ( \frac{\omega (1 -\omega^6)}{1-\omega} \right )^n=\frac {1}{6^n}\omega^n\\
P(\omega^2 )&=\frac {1}{6^n}\left ( \frac{\omega^2 -\omega^{14}}{1-\omega^2} \right )^n\\
&=\frac {1}{6^n}\left ( \frac{\omega^2 (1 -\omega^{12})}{1-\omega^2} \right )^n=\frac {1}{6^n}\omega^{2n}\\
P(\omega^3 )&=\frac {1}{6^n}\left ( \frac{\omega^3 -\omega^{21}}{1-\omega^3} \right )^n\\
&=\frac {1}{6^n}\left ( \frac{\omega^3 (1 -\omega^{18})}{1-\omega^3} \right )^n=\frac {1}{6^n}\omega^{3n}\\
P(\omega^4 )&=\frac {1}{6^n}\left ( \frac{\omega^4 -\omega^{28}}{1-\omega^4} \right )^n\\
&=\frac {1}{6^n}\left ( \frac{\omega^4 (1 -\omega^{24})}{1-\omega^4} \right )^n=\frac {1}{6^n}\omega^{4n}
\end{align*}$$ Xác suất cần tìm là :
$$\begin {align*}
P&=\frac {1}{6^n}\frac {6^n+\omega^n+\omega^{2n}+\omega^{3n}+\omega^{4n}}{5}\\
&=\color{blue}\begin {cases}
\frac {6^n+4}{
5\cdot6^n}&&\text{nếu  }5\mid n,\\
\frac {6^n-1}{
5\cdot 6^n}&&\text{ngược lại  }
\end {cases}
\end {align*}$$