Chủ đề này có 1 trả lời

[truongphat266]

Tìm tất cả hàm số: $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa:

$f(xf(y)+x)=xy+f(x)$, $\forall x,y \in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 18-07-2023 - 21:40

[Moon Loves Math]

Ta có: $f(xf(y)+x)=xy+f(x) \quad (1)$

Thế $x=1$ vào (1), ta có: $f(f(y)+1))=y+f(1) \quad (2)$.

Từ (2), thay $y=c=f(x-f(1))+1$, suy ra: 

$f(c)=f(f(x-f(1))+1)=(x-f(1))+1=x$

Nên $\forall x\in \mathbb{R}, \exists c\in \mathbb{R}:f(c)=x$.

Do đó $f$ là toàn ánh.

 

Tồn tại 1 số $a \in \mathbb{R}$ nào đó để $f(a)=0$.

Từ (1), thế $y=a$, được: $f(x)=xa+f(x) \quad \forall x\in \mathbb{R}$, hay $a=0$.

Tương tự, tồn tại 1 số $b \in \mathbb{R}$ nào đó để $f(b)=-1$.

Thay $y=b$ vào (1), có: $f(0)=xb+f(x)$, hay $f(x)=-bx$.

Kiểm tra lại, thế ngược $f(x)=-bx$ vào (1) và rút gọn, ta có được: $b^2=1\Leftrightarrow \begin{align*} \left[ \begin{array}{ll} b = 1 & \\ b = -1 & \end{array} \right . \end{align*}$

Vậy $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$.