Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a+b+c=3$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a^2}{a+c^2}+\frac{b^2}{b+a^2}+\frac{c^2}{c+b^2}$.
Giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a^2}{a+c^2}+\frac{b^2}{b+a^2}+\frac{c^2}{c+b^2}$.
Bắt đầu bởi William Nguyen, 19-07-2023 - 00:01
Lời giải Le Binh Minh, 19-07-2023 - 16:24
$\large P=\sum \frac{a^2}{a+c^2}$ và $\large a+b+c=3$
$\large \Rightarrow 3-P=\sum (a-\frac{a^2}{a+c^2})=\sum \frac{ac^2}{a+c^2}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $\large a+c^2\geq 2c\sqrt{a}$
Từ đó suy ra:
$\large 6-2P\leq \sum c\sqrt{a}=\sum \sqrt{ac}\sqrt{c}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakosky:
$\large (\sum \sqrt{ac}\sqrt{c})^2\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)\leq 3\frac{(a+b+c)^2}{3}=9 \Rightarrow \sum \sqrt{ac}\sqrt{c} \leq 3$
Từ đó dễ dàng có:
$\large 6-2P\leq 3 \Leftrightarrow P\geq \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Đi đến bài viết »
#2
Đã gửi 19-07-2023 - 16:24
Le Binh Minh
-
- Thành viên mới
-
- 21 Bài viết
Binh nhất
✓ Lời giải
$\large P=\sum \frac{a^2}{a+c^2}$ và $\large a+b+c=3$
$\large \Rightarrow 3-P=\sum (a-\frac{a^2}{a+c^2})=\sum \frac{ac^2}{a+c^2}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $\large a+c^2\geq 2c\sqrt{a}$
Từ đó suy ra:
$\large 6-2P\leq \sum c\sqrt{a}=\sum \sqrt{ac}\sqrt{c}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakosky:
$\large (\sum \sqrt{ac}\sqrt{c})^2\leq (a+b+c)(ab+bc+ca)\leq 3\frac{(a+b+c)^2}{3}=9 \Rightarrow \sum \sqrt{ac}\sqrt{c} \leq 3$
Từ đó dễ dàng có:
$\large 6-2P\leq 3 \Leftrightarrow P\geq \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Binh Minh: 19-07-2023 - 16:24
- ThienDuc1101, Leonguyen, HaiDangPham và 3 người khác yêu thích
16 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 16 khách, 0 thành viên ẩn danh
