Chủ đề này có 5 trả lời

[William Nguyen]

Cho dãy số:

$(u_n):\begin{cases} u_1=\sqrt{2} & \\ u_{n+1}=\sqrt{\frac{2u_n}{u_n+1}}, & \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$

a, Tìm công thức số hạng tổng quát.

b, Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 21-07-2023 - 17:22

[Moon Loves Math]

Lời giải

a, Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được:  $u_n \neq 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}$.

Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}$, ta có: $\frac{1}{u_{n+1}}=\sqrt{\frac{u_n+1}{2u_n}} \Rightarrow v_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}v_n}$

Ta chứng minh công thức tổng quát của dãy ${v_n}$ là: $v_n=\cos\left ( \frac{\pi}{2^{n+1}} \right ) \quad (\ast)$

Với $n=1$, ta có: $v_1=\frac{1}{u_1}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos\left ( \frac{\pi}{4} \right )$.

Giả sử $(\ast)$ đúng với $n=k$.

Ta có: 

$\begin{align*} v_{k+1}&=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos{\frac{\pi}{2^{k+1}}}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left ( 2\cos^2\left ( \frac{\pi}{2^{k+2}} \right )-1 \right )}\\ &=\sqrt{\cos^2\left ( \frac{\pi}{2^{k+2}} \right )}=\cos\left ( \frac{\pi}{2^{k+2}} \right ) \end{align*}$,

hay $(\ast)$ đúng với $n=k+1.$

Vậy $(\ast)$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$, nên suy ra $u_n=\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}}$.

b, Với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ thì $\frac{\pi}{2^{n+1}}\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$.

Mà hàm $\cos$ nghịch biến trên $\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$ nên $v_{n}<v_{n+1}$, hay $u_n>u_{n+1}$.

Suy ra dãy $(u_n)$ là dãy giảm.

Mặt khác, do $\cos{x}\leq1$ nên $u_n=\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}}\geq\frac{1}{1}=1$.

Hay dãy $(u_n)$ bị chặn dưới. 

Theo nguyên lý Weierstrass, dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Có:

$\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}}=\frac{1}{\cos{0}}=1$.

[William Nguyen]

Sau khi biến đổi đến đây:

$v_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}v_n}$

thì điểm mấu chốt là nhận ra công thức lượng giác

$cos^2 a = \frac{1+cos(2a)}{2}$

Từ đó suy ra công thức số hạng tổng quát.

Tương tự với các công thức lượng giác nhân đôi, nhân ba, hạ bậc, ta cũng có thể thiết lập bài toán dãy số theo hình thức tương tự.

[Snowee]

a, Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được:  $u_n \neq 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}$.

Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}$, ta có: $\frac{1}{u_{n+1}}=\sqrt{\frac{u_n+1}{2u_n}} \Rightarrow v_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}v_n}$

Ta chứng minh công thức tổng quát của dãy ${v_n}$ là: $v_n=\cos\left ( \frac{\pi}{2^{n+1}} \right ) \quad (\ast)$

Với $n=1$, ta có: $v_1=\frac{1}{u_1}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos\left ( \frac{\pi}{4} \right )$.

Giả sử $(\ast)$ đúng với $n=k$.

Ta có: 

$\begin{align*} v_{k+1}&=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos{\frac{\pi}{2^{k+1}}}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left ( 2\cos^2\left ( \frac{\pi}{2^{k+2}} \right )-1 \right )}\\ &=\sqrt{\cos^2\left ( \frac{\pi}{2^{k+2}} \right )}=\cos\left ( \frac{\pi}{2^{k+2}} \right ) \end{align*}$,

hay $(\ast)$ đúng với $n=k+1.$

Vậy $(\ast)$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$, nên suy ra $u_n=\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}}$.

b, Với mọi $n \in \mathbb{N}^{*}$ thì $\frac{\pi}{2^{n+1}}\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$.

Mà hàm $\cos$ nghịch biến trên $\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )$ nên $v_{n}<v_{n+1}$, hay $u_n>u_{n+1}$.

Suy ra dãy $(u_n)$ là dãy giảm.

Mặt khác, do $\cos{x}\leq1$ nên $u_n=\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}}\geq\frac{1}{1}=1$.

Hay dãy $(u_n)$ bị chặn dưới. 

Theo nguyên lý Weierstrass, dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Có:

$\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2^{n+1}}}}=\frac{1}{\cos{0}}=1$.

Cho em hỏi là làm sao để có thể dự đoán được $v_n=\cos\left(\pi/2^{n+1}\right)$ bằng công thức lượng giác ạ ?

[William Nguyen]

Cho em hỏi là làm sao để có thể dự đoán được $v_n=\cos\left(\pi/2^{n+1}\right)$ bằng công thức lượng giác ạ ?

Bạn hãy hình dung là $v_{n+1}=\cos(a)$ thì $v_n=\cos(2a)$ tức là từ công thức lượng giác kia ta phải có $v_n$ biểu diễn theo $\cos (f(n))$, chú ý rằng phần trong chữ cos của $v_{n+1}$ bằng nửa phần trong chữ cos của $v_n$ nên $f(n)=\frac{x}{2^n}$, kết hợp $v_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $x=\frac{\pi}{2}$

[Snowee]

Bạn hãy hình dung là $v_{n+1}=\cos(a)$ thì $v_n=\cos(2a)$ tức là từ công thức lượng giác kia ta phải có $v_n$ biểu diễn theo $\cos (f(n))$, chú ý rằng phần trong chữ cos của $v_{n+1}$ bằng nửa phần trong chữ cos của $v_n$ nên $f(n)=\frac{x}{2^n}$, kết hợp $v_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $x=\frac{\pi}{2}$

Em cảm ơn anh ạ. Anh có tài liệu về phần tính giới hạn dãy tổng và mấy bài sử dụng lượng giác như thế này không ạ ? Nếu có thì anh có thể chia sẻ cho em tài liệu được không ạ ?