Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Bất đẳng thức trong hình học

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 maihuyen2006

maihuyen2006

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 29-11-2020 - 01:01

Cho (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F 
Chứng minh $$\frac{DE}{\sqrt[]{BC.CA}}$ + $\frac{EF}{\sqrt[]{AB.CA}}$ + $\frac{DF}{\sqrt[]{BC.BA}}$$ $\leq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maihuyen2006: 29-11-2020 - 01:02


#2 PDF

PDF

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 327 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Đi tìm vẻ đẹp của Toán học

Đã gửi 02-01-2021 - 16:46

Cho (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F 
Chứng minh $$\frac{DE}{\sqrt[]{BC.CA}}$ + $\frac{EF}{\sqrt[]{AB.CA}}$ + $\frac{DF}{\sqrt[]{BC.BA}}$$ $\leq \frac{3}{2}$

Đặt $BC=a,CA=b,AB=c,\frac{a+b+c}{2}=p$. Ta có các công thức sau:

$$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}; EF=2(p-a)\sin \frac{A}{2}; (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)-2abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}.$$

BĐT trở thành:

$$\frac{2(p-a)\sqrt{(p-b)(p-c)}}{bc}+\frac{2(p-b)\sqrt{(p-c)(p-a)}}{ca}+\frac{2(p-c)\sqrt{(p-a)(p-b)}}{ab}\leq \frac{3}{2}.$$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$VT\leq \frac{a(p-a)}{bc}+\frac{b(p-b)}{ca}+\frac{c(p-c)}{ab}=\frac{a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{2abc}=1+\frac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{2abc}\leq \frac{3}{2}.$

Đây chính là đpcm. Đẳng thức xảy ra chỉ khi tam giác $ABC$ đều. $\square$


$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh