Lính mới
Đã gửi 29-11-2020 - 01:01
Cho (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F
Chứng minh $$\frac{DE}{\sqrt[]{BC.CA}}$ + $\frac{EF}{\sqrt[]{AB.CA}}$ + $\frac{DF}{\sqrt[]{BC.BA}}$$ $\leq \frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maihuyen2006: 29-11-2020 - 01:02
Sĩ quan
Đã gửi 02-01-2021 - 16:46
Cho (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F
Chứng minh $$\frac{DE}{\sqrt[]{BC.CA}}$ + $\frac{EF}{\sqrt[]{AB.CA}}$ + $\frac{DF}{\sqrt[]{BC.BA}}$$ $\leq \frac{3}{2}$
Đặt $BC=a,CA=b,AB=c,\frac{a+b+c}{2}=p$. Ta có các công thức sau:
$$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}; EF=2(p-a)\sin \frac{A}{2}; (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)=a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)-2abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}.$$
BĐT trở thành:
$$\frac{2(p-a)\sqrt{(p-b)(p-c)}}{bc}+\frac{2(p-b)\sqrt{(p-c)(p-a)}}{ca}+\frac{2(p-c)\sqrt{(p-a)(p-b)}}{ab}\leq \frac{3}{2}.$$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$VT\leq \frac{a(p-a)}{bc}+\frac{b(p-b)}{ca}+\frac{c(p-c)}{ab}=\frac{a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{2abc}=1+\frac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{2abc}\leq \frac{3}{2}.$
Đây chính là đpcm. Đẳng thức xảy ra chỉ khi tam giác $ABC$ đều. $\square$
$\text{Beauty is the first test, there is no permanent place in the world for ugly mathematics.}\\ \text{--Godfrey Harold Hardy}$
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
điểm cố địnhBắt đầu bởi lan753951, 01-01-2021  hình học
|
|
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh đường vuông góc nâng cao 7Bắt đầu bởi Korosensei, 28-12-2020 hình học
|
|
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh 5 điểm đồng viênBắt đầu bởi Peteroldar, 26-12-2020 hình học
|
|
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
ĐỀ THI HSG THUỶ NGUYÊN HẢI PHÒNG 2019-2020Bắt đầu bởi Nguyen Tran Vy An, 16-12-2020 hình học
|
|
|
||
Thảo luận chung →
Kinh nghiệm học toán →
hình học không gianBắt đầu bởi phan duy quang lh, 15-11-2020 hình học, không gian, tài liệu
|
|
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
