Chủ đề này có 1 trả lời

[LTSong]

$\left\{\begin{matrix} 2y^{3}-2x^{3}=3\\ y=4x^{3}-x+3 \end{matrix}\right.$

Mọi Người giúp mình giải bài này với ạ

 

[HaiDangPham]

$\left\{\begin{matrix} 2y^{3}-2x^{3}=3\\ y=4x^{3}-x+3 \end{matrix}\right.$

Mọi Người giúp mình giải bài này với ạ

 

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với $4$ ta được $$(2y)^3-(2x)^3=12,$$ và nhân hai vế phương trình thứ hai với $2$ ta được $$ 2y=(2x)^3-2x+6.$$ Đặt $2x=u, 2y=v$ ta có hệ phương trình mới $$\left\{\begin{matrix} v^3-u^3=12\\ v=u^{3}-u+6 \end{matrix}\right.$$ Từ phương trình thứ hai ta suy ra $$u^3=u+v-6$$ thay vào phương trình thứ nhất ta được $$v^3=u^3+12=u+v+6$$ Cộng lại ta có $$u^3+v^3=2(u+v)$$ Dẫn tới hoặc $u+v=0$ hoặc $u^2-uv+v^2=2$. 

 

Nếu $u^2-uv+v^2=2$ khi đó $(u+v)^2=3uv+2$. Do $(u+v)^2 \geq 0$ nên $uv \geq \frac{-2}{3}$. Mặt khác do $(u+v)^2 \geq 4uv $ nên $uv \leq 2$. Ta lại có $$(uv)^3=(u+v-6)(u+v+6)=(u+v)^2-36=3uv-34$$ suy ra $(uv)^3 \leq 3.2-34=-28$ hay $uv \leq \sqrt[3]{-28} <\frac{-2}{3}$, mâu thuẫn. 

 

Vậy ta phải có $u+v=0$ khi đó $u=-\sqrt[3]{6}$ còn $v=\sqrt[3]{6}$. Dẫn tới $$x=\frac{-\sqrt[3]{6}}{2}, y=\frac{\sqrt[3]{6}}{2}.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 28-07-2023 - 00:14