Đến nội dung

Hình ảnh

$2q^{p} -p^{q}=7$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ sao cho : $2q^{p} -p^{q}=7$



#2
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

Dễ thấy $p$ lẻ

Nếu $q=2 \Rightarrow 2^{p+1}=p^{2}+7$

Dùng quy nạp toán học, với $p\geq 5$ thì $2^{p+1}> p^{2}+7$

$\Rightarrow p=3$ ( thỏa mãn )

Nếu $q \geq 3$ thì $q$ lẻ 

Theo $Fermat$ nhỏ thì $7\equiv 2q^{p}\equiv 2q \mod (p)$ và $7\equiv -p^{q}\equiv -p \mod (q)$

Xét $q=3$ thì $2.3^{p}=p^{3}+7$

Dùng quy nạp, để ý rằng $p\geq 3$ thì $2.3^{p}> p^{3}+7$ nên trường hợp này không thỏa mãn 
$\Rightarrow q\geq 5$

$\begin{cases} p+7=kq (k> 0) \\ p\mid 2q-7 \end{cases}$

$2q-7\geq p = kq-7 \Rightarrow k\leq 2$

Trường hợp 1 : $k=1$

$\begin{cases} p+7=q \\ p\mid 2q-7 \end{cases} \Rightarrow p\mid 7 \Rightarrow p=7 \Rightarrow q=14(L)$

Trường hợp 2 : $k=2$

$\begin{cases} p+7=2q \\ p\mid 2q-7 \end{cases}$

Với $p< q \Rightarrow q< 7 \Rightarrow q=5$

$\Rightarrow p=3$ ( thỏa mãn )

Với $p=q \Rightarrow p^{p}=7 (L)$

Với $p> q \Rightarrow q^{p}-p^{q}+q^{p}=7$

Ta sẽ đi c/m $q^{p}> p^{q}$

$\Leftrightarrow ln (q^{p})> ln(p^{q}) \Leftrightarrow p.ln(q)> q.ln(p) \Leftrightarrow \frac{ln(q)}{q}>\frac{ln(p)}{p}$

Đặt $f(x)=\frac{ln(x)}{x}$

Ta có $f'(x)= \frac{1-ln(x)}{x^{2}} < 0$ vì $x\geq 3$

$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(3;+\propto )$

Vì $p> q$ nên bất đẳng thức cần chứng minh đúng 

Lúc đó $2q^{p}-p^{q}> q^{p}> 7$

Nên trường hợp vô nghiệm 

Vậy các cặp $p,q$ thỏa đề là $(3;2),(3;5)$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh