Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ sao cho : $2q^{p} -p^{q}=7$
$2q^{p} -p^{q}=7$
#1
Đã gửi 28-07-2023 - 12:48
#2
Đã gửi 03-08-2023 - 11:35
Dễ thấy $p$ lẻ
Nếu $q=2 \Rightarrow 2^{p+1}=p^{2}+7$
Dùng quy nạp toán học, với $p\geq 5$ thì $2^{p+1}> p^{2}+7$
$\Rightarrow p=3$ ( thỏa mãn )
Nếu $q \geq 3$ thì $q$ lẻ
Theo $Fermat$ nhỏ thì $7\equiv 2q^{p}\equiv 2q \mod (p)$ và $7\equiv -p^{q}\equiv -p \mod (q)$
Xét $q=3$ thì $2.3^{p}=p^{3}+7$
Dùng quy nạp, để ý rằng $p\geq 3$ thì $2.3^{p}> p^{3}+7$ nên trường hợp này không thỏa mãn
$\Rightarrow q\geq 5$
$\begin{cases} p+7=kq (k> 0) \\ p\mid 2q-7 \end{cases}$
$2q-7\geq p = kq-7 \Rightarrow k\leq 2$
Trường hợp 1 : $k=1$
$\begin{cases} p+7=q \\ p\mid 2q-7 \end{cases} \Rightarrow p\mid 7 \Rightarrow p=7 \Rightarrow q=14(L)$
Trường hợp 2 : $k=2$
$\begin{cases} p+7=2q \\ p\mid 2q-7 \end{cases}$
Với $p< q \Rightarrow q< 7 \Rightarrow q=5$
$\Rightarrow p=3$ ( thỏa mãn )
Với $p=q \Rightarrow p^{p}=7 (L)$
Với $p> q \Rightarrow q^{p}-p^{q}+q^{p}=7$
Ta sẽ đi c/m $q^{p}> p^{q}$
$\Leftrightarrow ln (q^{p})> ln(p^{q}) \Leftrightarrow p.ln(q)> q.ln(p) \Leftrightarrow \frac{ln(q)}{q}>\frac{ln(p)}{p}$
Đặt $f(x)=\frac{ln(x)}{x}$
Ta có $f'(x)= \frac{1-ln(x)}{x^{2}} < 0$ vì $x\geq 3$
$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(3;+\propto )$
Vì $p> q$ nên bất đẳng thức cần chứng minh đúng
Lúc đó $2q^{p}-p^{q}> q^{p}> 7$
Nên trường hợp vô nghiệm
Vậy các cặp $p,q$ thỏa đề là $(3;2),(3;5)$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh