Chủ đề này có 2 trả lời

[Sprouts]

Cho số $\alpha \in (1;2)$. Xét dãy số thực dương $(u_{n})$ xác định bởi

$u^{\alpha}_{n}\geq u_{1}+u_{2}+...+u_{n-1}$

Chứng minh rằng tồn tại hằng số $c> 0$ sao cho $u_{n}\geq cn \forall n$

[chuyenndu]

bài này ở trong Tài liệu chuyên toán - 11 gồm các ý

1. $a_n\ge a_1^{\frac{1}{\alpha}}\Rightarrow a_n\ge (n-2)a_1^{\frac{1}{\alpha}}+a_1\Rightarrow lima_n=+\infty\Rightarrow$ tồn tại $N_0:a_{N_0}>1$

2. đặt $c=min\{\frac{1}{4},a_1,\frac{a_2}{2},...,\frac{a_{N_0}}{N_0}\}$ chứng minh quy nạp đây là c cần tìm

[Sprouts]

Lời giải

$u_{n}\geq u^{\frac{1}{\alpha}}_{1}\Rightarrow u_{n}>=(n-2)u^{\frac{1}{\alpha}}_1+u_{1}$

Do đó: $\lim u_{n}=+\infty$. Suy ra tồn tại $N_{0}\in \mathbb{N}$ sao cho với mọi $n>N_{0}$ thì $u_{n}>1$

Đặt $c=\min\left \{ \frac{1}{4};a_{1};\frac{a_{2}}{2};...;\frac{a_{N_{0}}}{N_{0}} \right \}\Rightarrow \frac{a_{n}}{n}>c>0 \forall n\leq N_{0}$.

Ta chứng minh $a_{n}>nc, \forall n\geq N_{0}$ (1) bằng quy nạp.

Thật vậy:

Với $n=N_{0}$ thì (1) hiển nhiên đúng.

Giả sử (1) đúng đến $n=k>N_{0}$ ta có

$a^{2}_{k+1}\geq a^{2}_{n+1}\geq a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\geq(1+2+...+k).c=\frac{k(k+1)}{2}.c=(k+1)c\frac{k}{2}>[(k+1)c]^2 \Rightarrow a_{k+1}>(k+1)c\Leftrightarrow \frac{a_{k+1}}{k+1}>c$

Vậy (1) đúng với $n=k+1$

Vậy (1) được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sprouts: 31-07-2023 - 20:53