Chủ đề này có 4 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Tính số nghiệm nguyên của phương trình
$$z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=30$$biết rằng các $z_i>1$, có 2 nghiệm là số lẻ và 3 nghiệm là số tự nhiên chẵn.
2/ Tính hệ số của $z^3$ trong khai triển của $(6+z+z^2)^7$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 31-07-2023 - 13:09

[hxthanh]

Giả sử $z_1=2x_1+1;\;z_2=2x_2+1$
$z_3=2x_3;\;z_4=2x_4;\;z_5=2x_5$
Khi đó:
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=14$
Có số nghiệm nguyên dương là $13\choose 4$
Suy ra số nghiệm thoả phương trình đã cho là
${5\choose 2}\cdot{13\choose 4}=7150$

[Nobodyv3]

Bài 1: em định ràng buộc sử dụng hàm sinh...
Bài 2: Tương tự như [url = https://diendantoanh...ong-khai-triển/ ] bài này.[/url]
Ý mình muốn nói là nếu có nhận xét 1 tí thì khối lượng tính toán buồn tẻ sẽ giảm đi khá nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 31-07-2023 - 19:31

[chanhquocnghiem]

1/ Tính số nghiệm nguyên của phương trình
$$z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=30$$biết rằng các $z_i>1$, có 2 nghiệm là số lẻ và 3 nghiệm là số tự nhiên chẵn.

Đặt $y_i=z_i-2$.

Đáp án cần tìm cũng chính là số bộ nghiệm nguyên không âm của pt $y_1+y_2+...+y_5=20$ thỏa mãn có đúng 2 nghiệm lẻ

Gọi 2 nghiệm lẻ đó là $y_j$ và $y_k$.

Chọn $j$ và $k$ : $C_5^2$ cách.

Ta có hàm sinh $f(x)=\left ( \frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^2} \right )^2\left ( \frac{1}{1-x^2} \right )^3=\frac{x^2}{(1-x^2)^5}=x^2\sum_{t=0}^{\infty}C_{t+4}^4x^{2t}$

Vậy đáp án là $C_5^2.\left [ x^{20} \right ]f(x)=C_5^2.C_{9+4}^4=7150$.
 

[chanhquocnghiem]

2/ Tính hệ số của $z^3$ trong khai triển của $(6+z+z^2)^7$

$(6+z+z^2)^7=C_7^k.(z^2+6)^k.z^{7-k}$

+ $k=4\rightarrow C_7^4.6^4.z^3=35.6^4\  z^3$

+ $k=6\rightarrow C_7^6.C_6^5z^2.6^5.z=7.6^6\ z^3$

Vậy đáp án là $35.6^4+7.6^6=287.6^4=371952$.