Chủ đề này có 2 trả lời

[Ruka]

1. Cho ánh xạ tuyến tính $ f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ xác định

bởi:

$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)$.

Tìm hạt nhân và ảnh của $f$.

2. Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ xác định bởi:

$$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1- x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right).$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 31-07-2023 - 14:28

[vutuanhien]

Lời giải

 

1. Cho ánh xạ tuyến tính $ f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ xác định

bởi:

$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)$.

Tìm hạt nhân và ảnh của $f$.

2. Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ xác định bởi:

$$f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1- x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right).$$

 

Xét hệ phương trình tuyến tính

$$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ 0 & -2&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

Để giải hệ này ta đặt $x_{3}=2t$. Vì $-2x_{2}+x_{3}=0$ nên $x_{2}=t$. Thay vào phương trình thứ nhất ta có $2x_{1}-t+3.2t=0$ nên $x_{1}=-\tfrac{5}{2}t$. Do đó tập nghiệm của hệ phương trình này (đồng thời là hạt nhân của $f$) là $\left\{(-5t/2, t, 2t)|t\in \mathbb{R}\right\}$. Đây là không gian vector 1 chiều với cơ sở $(-5/2, 1, 2)$. 

 

Ta thấy hạng của ma trận của $f$ là $2$ nên hạng của $f$ là $2$. Cuối cùng ảnh của $f$ là không gian sinh bởi $f(e_{1})$, $f(e_{2})$, $f(e_{3})$ với $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ là cơ sở chính tắc của $\mathbb{R}^{3}$ (cái này tự tính).

[nmlinh16]

Câu hỏi "tìm hạt nhân và ảnh" là một câu hỏi mơ hồ. Vì một không gian vectơ con của $\mathbb{R}^n$ có thể mô tả bởi các cách khác nhau: bởi một hệ sinh, bởi một cơ sở (một cách tương đương là bởi một hệ phương trình tham số), hoặc bởi một hệ phương trình tổng quát.