Ta gọi một “giải đấu” trên $n$ vận động viên là một cách gán thắng/thua cho từng trận đấu (trong tổng cộng $\frac{n(n-1)}{2}$ trận đấu).
Dễ dàng xây dựng giải đấu trên $3$ cũng như $4$ vận động viên sao cho có $3$ vận động viên vô địch tương đối. Do đó $S_3 = 3$ và $S_4 \ge 3$.
Để chứng minh $S_4 < 4$, ta xét một giải đấu tuỳ ý trên $4$ vận động viên.
- Nếu có một vận động viên $a$ thắng cả $3$ trận thì các vận động viên còn lại không thể viết được tên $a$, nên họ đều không vô địch tương đối.
- Nếu có một vận động viên $a$ thua cả $3$ trận thì anh ta không thể viết tên ai, nên không vô địch tương đối.
- Trường hợp còn lại, mỗi vận động viên đều thắng đúng $1$ hoặc $2$ trận. Mà tổng số trận đấu là $6$ nên có đúng $2$ vận động viên chỉ thắng $1$ trận, gọi họ là $a$ và $b$ và giả sử rằng $a$ thắng $b$. Rõ ràng $a$ chỉ viết được tên của $b$ và người duy nhất mà $b$ thắng, nên $a$ không vô địch tương đối.
Tóm lại, không tồn tại giải đấu trên $4$ vận động viên mà cả $4$ đều vô địch tương đối, vậy $S_4 < 4$, hay $S_4 = 3$.
Tiếp theo, ta định nghĩa một “tam giác” là một bộ $3$ vận động viên $a,b,c$ mà $a$ thắng $b$, $b$ thắng $c$ và $c$ thắng $a$. Ta có nhận xét sau: một giải đấu có cả $n$ vận động viên đều vô địch tương đối khi và chỉ khi mỗi cặp vận động viên đều nằm trong một tam giác nào đó.
Từ nhận xét trên, ta chứng minh khẳng định sau: nếu $S_n = n$ thì $S_{n+2} = n+2$. Thật vậy, giả sử tồn tại một giải đấu $n$ vận động viên sao cho cả $n$ người đều vô địch tương đối. Ta thêm hai vận động viên mới là $a$ và $b$, và xây dựng giải đấu mới trên tất cả $n+2$ vận động viên này bằng cách quy định: $a$ thắng $b$, $b$ thắng tất cả $n$ vận động viên cũ, và tất cả vận động viên cũ thắng $a$. Dễ thấy lúc này, mọi cặp vận động viên đều nằm trong một tam giác nào đó, nên ta thu được một giải đấu với $n+2$ vận động viên đều vô địch tương đối.
Từ đó dễ thấy $S_n = n$ với mọi $n \ge 3$ và lẻ.
Ta cũng xây dựng được giải đấu với $6$ vận động viên đều vô địch tương đối, nên $S_6 = 6$, từ đó $S_n = n$ với mọi $n \ge 6$ và chẵn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 02-08-2023 - 22:20
$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$
"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert
