Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=\alpha >0\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}+12x_{n}}{3x_{n}^{2}+4} \end

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
giappkk

giappkk

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$ sau: $\left\{\begin{matrix} x_{1}=\alpha >0\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}+12x_{n}}{3x_{n}^{2}+4} \end{matrix}\right.$ $\forall n=1,2,...$

Bài toán 2: Tinh tổng $S_{n} = \sum_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2^{i-1}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi giappkk: 01-08-2023 - 21:34


#2
chaubee2001

chaubee2001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$ sau: $\left\{\begin{matrix} x_{1}=\alpha >0\\ x_{n+1}=\frac{x_{n}^{3}+12x_{n}}{3x_{n}^{2}+4} \end{matrix}\right.$ $\forall n=1,2,...$

Ta có:

$x_{n+1}- 2 = \dfrac{x_{n}^{3}+12x_n}{3x_n^2+4}-2=\dfrac{x_{n}^{3}-6x_n^2+12x_n-8}{3x_n^2+4}=\dfrac{\left (x_n-2  \right )^3}{3x_n^2+4}$

$x_{n+1} + 2 = \dfrac{\left (x_n+2  \right )^3}{3x_n^2+4}$

Xét hàm số $f(x)=\dfrac{x-2}{x+2}$, ta thấy $f\left ( x_{n+1} \right ) = \dfrac{x_{n+1}-2}{x_{n+1}+2} = \dfrac{\left (x_n-2  \right )^3}{\left (x_n+2  \right )^3} = f^3\left ( x_{n} \right )$

$\Rightarrow f\left ( x_{n} \right ) = f^{3^{n-1}}\left ( x_{1} \right )=f^{3^{n-1}}\left ( \alpha \right )$

Đặt $f^{3^{n-1}}\left ( \alpha \right ) = \beta$ thì $\dfrac{x_n-2}{x_n+2}= \beta \Leftrightarrow x_n = \dfrac{2+2\beta}{1-\beta}$

Vậy $x_n = \dfrac{2+2\beta}{1-\beta}$ với $\beta = \left (\dfrac{\alpha -2}{\alpha+2}  \right )^{3^{n-1}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaubee2001: 01-08-2023 - 23:17

haizzz

#3
giappkk

giappkk

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Đồng thuận em góp thêm bài nữa nhé: 

- Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$: $\left\{\begin{matrix} x_{0}=\alpha & & \\ x_{n+1}=x_{n}^{3}-3a^{3^{n}} & & \end{matrix}\right.$, $a>0,n\in N$



#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết


Bài toán 2: Tinh tổng $S_{n} = \sum_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2^{i-1}}$

Ta có: $\dfrac{2i-1}{2^{i-1}}= \dfrac{2i+1}{2^{i-2}}-\dfrac{2i+3}{2^{i-1}} $
Do đó: $S_n=\dfrac{2.1+1}{2^{1-2}}-\dfrac{2n+3}{2^{n-1}}=6-\dfrac{2n+3}{2^{n-1}} $




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh