Cuối tuần và để nâng cấp cuộc chơi, em xin đề nghị bài toán :
Có bao nhiêu cách xếp khác nhau của từ TALENTENGINEER, trong đó các chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau.
N.B. Nếu có thể, xin trình bày cách sơ cấp, cách thấp cấp... :-) để tiếp cận bài toán (hoặc một cách nào khác cũng welcome).
Mong các chuẩn kỹ sư tài năng (bao gồm cả những ai suýt là talent engineer...) tham gia, giải trí vui là chính.
Nếu thấy bổ ích, xin thầy (cô), anh (chị) và các bạn like, subscribe, share. Thank for watching...:-) (Sorry, xem mãi rồi lậm...)
Ta có $8$ loại chữ cái : $T,A,L,E,N,G,I,R$
Số lượng mỗi loại là $n_1=2$ ; $n_2=n_3=n_6=n_7=n_8=1$ ; $n_4=4$ ; $n_5=3$
Một hoán vị không hợp lệ khi chứa $2$ chữ cái liên tiếp giống nhau $\rightarrow m_1=m_2=...=m_8=2$
Đa thức cho loại chữ xuất hiện 1 lần : $P_{2,1}(t)=\left [ x^1 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=t$
Đa thức cho loại chữ xh 2 lần : $P_{2,2}(t)=\left [ x^2 \right ]\exp \left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=\frac{t^2}{2}-t$
Đa thức cho loại chữ xh 3 lần $P_{2,3}(t)=\left [ x^3 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=\frac{t^3}{6}-t^2+t$
Đa thức cho loại chữ xh 4 lần $P_{2,4}(t)=\left [ x^4 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^2)}{1-x^2} \right )=\frac{t^4}{24}-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}-t$
Số hoán vị thỏa mãn yêu cầu là
$\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^5\left ( \frac{t^2}{2}-t \right )\left ( \frac{t^3}{6}-t^2+t\right )\left ( \frac{t^4}{24}-\frac{t^3}{2}+\frac{3t^2}{2}-t \right )dt=56256480$