Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số dư khi chia $10^{2023}+2024$ cho 3


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nhancccp

nhancccp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết

Bài toán 1: a) Tìm số dư khi chia $10^{2023}+2024$ cho 3
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì $n^3+2024n+2$ không chia hết cho $10^{2023}+2024$

Bài toán 2:Cho 40 số nguyên dương $a_1;a_2;...;a_{19}$ và $b_1;b_2;...;b_{21}$ thỏa mãn đồng thời $1 \leq a_1 < a_2 < \cdots a_{19} \leq 200$ và $1 \leq b_1 < b_2< \cdots b_{21} \leq 200$
Chứng minh rằng tồn tại 4 số $a_i;a_j;b_k;b_l$ sao cho $a_i<a_j;b_k<b_l;a_j-a_i=b_l-b_k$

Bài toán 3:a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n lẻ thì $3^{2n+1}-7 \vdots 20$
b)Tìm tất cả các só nguyên n để $n^4-2n^3+3n^2+2n-2$ là số nguyên tố

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 06-08-2023 - 17:07

Chuông vẳng nơi nao nhớ lạ lùng
Ra đi ai chẳng nhớ chùa chung
Mái chùa che chở hồn dân tộc 
Nếp sống bao đời của tổ tông
Thích Mãn Giác

#2
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài toán 1: a) Tìm số dư khi chia $10^{2023}+2024$ cho 3
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì $n^3+2024n+2$ không chia hết cho $10^{2023}+2024$

Bài toán 2:Cho 40 số nguyên dương $a_1;a_2;...;a_{19}$ và $b_1;b_2;...;b_{21}$ thỏa mãn đồng thời $\left\{\begin{matrix} & 1 \leq a_1\end{matrix}\right.$.
Chứng minh rằng tồn tại 4 số $a_i;a_j;b_k;b_l$ sao cho $\left\{\begin{matrix} & a_i\end{matrix}\right.$

Bài toán 3:a) Chứng minh rằng với n lẻ thì $3^{2n+1}+-7 \vdots 20$
b)Tìm tất cả các só nguyên n để $n^4-2n^3+3n^2+2n-2$ là số nguyên tố

 

Đề có mấy chỗ bị lỗi. Bạn xem lại ạ. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 06-08-2023 - 15:17

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#3
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Bài 1:

a) $10^{2023}+2024\equiv1^{2023}+2\equiv1+2\equiv0\pmod3$ nên $10^{2023}+2024$ chia hết cho $3.$

b) $n^3+2024n+2\equiv n^3-n+2=n(n-1)(n+1)+2\equiv2\pmod3$ (do $n(n-1)(n+1)$ là tích $3$ số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3), thu được $n^3+2024n+2$ không chia hết cho $3.$

Mà theo câu a) lại có $10^{2023}+2024$ chia hết cho 3 nên ta suy ra được $n^3+2024n+2$ không chia hết cho $10^{2023}+2024.$ 

Bài 3:

a) Ta có:

$3^{2n+1}-7\equiv 3^{2n}.3+3\equiv3(3^{2n}+1)\equiv3(9^n+1)\equiv3((-1)^n+1)\equiv 3(-1+1)\equiv0\pmod5$ (do $n$ là số nguyên lẻ).

$3^{2n+1}-7\equiv (-1)^{2n+1}-7\equiv -1-7\equiv 0\pmod4.$ 

Từ hai điều trên suy ra được $3^{2n+1}-7$ chia hết cho $20.$

b) Dễ thấy $n^4-2n^3+3n^2+2n-2$ là số chẵn nên $n^4-2n^3+3n^2+2n-2$ là số nguyên tố khi và chỉ khi nó bằng $2.$ 

Suy ra $n^4-2n^3+3n^2+2n-2=2$ $\Leftrightarrow n^4-2n^3+3n^2+2n-4=0 $ $\Leftrightarrow (n+1)(n−1)(n^2−2n+4)=0$ $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} n=1& \\  n=-1& \end{matrix}\right.$ (do $n$ là số tự nhiên).


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#4
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Bài 2:

Nếu ta chọn một số trong dãy $ a_1;a_2;...;a_{19},$ và một số trong dãy $b_1;b_2;...;b_{21}$ thì ta chọn được được có $19.21=399$ cặp. Từ điều kiện đề cho thì tổng của hai số đã chọn sẽ có giá trị từ $2$ đến $400,$ tổng có 399 giá trị. Nếu tồn tại đồng thời hai tổng có giá trị là $2$ và $400$ thì bốn số cần tìm là $(1;1;200;200).$ Nếu không thì khi này chỉ còn 398 giá trị cho 399 tổng, theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại hai tổng $a_i+b_k=a_j+b_l$ hay $a_j-a_i=b_l-b_k.$


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh