Chủ đề này có 3 trả lời

[DaiphongLT]

Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $AD$. $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên $CA, AB$. $S$ là một điểm bất kì nằm trên đường tròn $(O)$. $SB, SC$ cắt $EF$ lần lượt tại $M, N$. Chứng minh $(SMN)$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaiphongLT: 07-08-2023 - 09:43

[HaiDangPham]

Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, đường cao $AD$. $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ lên $CA, AB$. $S$ là một điểm bất kì nằm trên đường tròn $(O)$. $SB, SC$ cắt $EF$ lần lượt tại $M, N$. Chứng minh $(SMN)$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
geogebra-export.png

 

Hình vẽ trên của bạn hình như đã chỉ ra đường tròn cố định là gì mất rồi. Điều này sẽ làm mất đi khá nhiều sự thú vị cho bài toán. Hi vọng bạn có thể thay hình vẽ khác chỉ bao gồm giả thiết bài toán mà thôi. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 07-08-2023 - 09:37

[Gia Cat Minh]

Lời giải:
Gọi $DE, DF$ cắt $SC, SB$ tại $L, K$
$U, V$ là điểm đối xứng của $D$ qua $F, E$
$X, Y$ là điểm đối xứng của $M, N$ qua $AB, AC$
$BX, MU$ giao $CY, NV$ tại $H, G$
Ta có: $\angle HBA=\angle HCA$ nên $H$ thuộc $(ABC)$
Lại có: $\angle BHA=180 - \angle ACB=180-\angle XFA$ nên $X,F,H,A$ đồng viên
Tương tự $H,A,Y,E$ đồng viên
Mà $BD^2=BF.BA=BX.BH$ nên $\angle BHD=\angle XDB$
Tương tự $\angle CHD=\angle YDC$
Nên $H,X,D,Y$ đồng viên
Suy ra $\angle XDF=\angle YDE$ hay $\angle MUK=\angle NVL$
Suy ra $U,V,D,G$ đồng viên
Lại có $\angle MGN=\angle FDE=180-\angle MSN$ nên $G,M,N,S$ đồng viên
Bởi vì $MN//UV$ nên $(SMN)$ tiếp xúc với $(A,AD)$
Xứng đáng skin op

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gia Cat Minh: 11-08-2023 - 19:19

[DaiphongLT]

Lời giải:
Gọi $DE, DF$ cắt $SC, SB$ tại $L, K$
$U, V$ là điểm đối xứng của $D$ qua $F, E$
$X, Y$ là điểm đối xứng của $M, N$ qua $AB, AC$
$BX, MU$ giao $CY, NV$ tại $H, G$
Ta có: $\angle HBA=\angle HCA$ nên $H$ thuộc $(ABC)$
Lại có: $\angle BHA=180 - \angle ACB=180-\angle XFA$ nên $X,F,H,A$ đồng viên
Tương tự $H,A,Y,E$ đồng viên
Mà $BD^2=BF.BA=BX.BH$ nên $\angle BHD=\angle XDB$
Tương tự $\angle CHD=\angle YDC$
Nên $H,X,D,Y$ đồng viên
Suy ra $\angle XDF=\angle YDE$ hay $\angle MUK=\angle NVL$
Suy ra $U,V,D,G$ đồng viên
Lại có $\angle MGN=\angle FDE=180-\angle MSN$ nên $G,M,N,S$ đồng viên
Bởi vì $MN//UV$ nên $(SMN)$ tiếp xúc với $(A,AD)$
Xứng đáng skin op
Screenshot 2023-08-11 184617.png

Hay hay:))