Chủ đề này có 2 trả lời

[chotoiditheo]

Tìm $x,y$ là 2 số nguyên dương thỏa mãn $$x^3-y^3 = xy + 61$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 11-08-2023 - 18:16
Tiêu đề & LaTeX

[truongphat266]

tìm $x,y$ là 2 số nguyên dương thỏa mãn:

$x^3-y^3 = xy + 61

Một đề thi năm nào đó của nước Nga.

Do vai trò $x,y$ đặt: $x=y+k$ trong đó $k$ nguyên dương.

Phương trình đã cho tương đương:

$$(3k-1)y^2 + k(3k-1)y + (k^3-61)=0$$

Do $VP=0$ mà 2 nhân tử trước đó lớn hơn $0$ nên: $k^3-61<0$

Điều này dẫn tới $k \in [1;3]$

Thế từng trường hợp vào giải được: $(x,y)=(6,5)$

[HaiDangPham]

Có thể đánh giá giá trị của $x-y$ mà không cần đặt thêm ẩn phụ $k$.

Ta có $(x-y)^3=x^3-y^3-3xy(x-y)$, suy ra $$(x-y)^3+3xy(x-y)=xy+61$$

Do $x, y$ nguyên dương nên dễ thấy $x>y>0$. Khi đó $3xy(x-y)>xy$. Vì vậy $$(x-y)^3<61.$$