Chủ đề này có 1 trả lời

[nhancccp]

Chứng minh rằng với mọi $a;b$ thỏa mãn $a>b>0$ thì giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào $a;b$

$P=\frac{\frac{(a+b)^3}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3}+(3\sqrt{a}+1)(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})}{a^2+b\sqrt{ab}}+\frac{5a\sqrt{b}-6b\sqrt{a}+3b\sqrt{b}-2a\sqrt{a}}{(a-b)(a-\sqrt{ab}+b)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 21-08-2023 - 21:15

[nhancccp]

Chứng minh rằng với mọi $a;b$ thỏa mãn $a>b>0$ thì giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào $a;b$

$P=\frac{\frac{(a+b)^3}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3}+(3\sqrt{a}+1)(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})}{a^2+b\sqrt{ab}}+\frac{5a\sqrt{b}-6b\sqrt{a}+3b\sqrt{b}-2a\sqrt{a}}{(a-b)(a-\sqrt{ab}+b)}$

Lâu quá không thấy ai giải nên xin đưa ra lời giải
$P=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3+(3\sqrt{a}+1)(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}+\frac{5a\sqrt{b}-6b\sqrt{a}+3b\sqrt{b}-2a\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}$

    $=\frac{[a-3a\sqrt{b}+3a\sqrt{b}-b+(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}])(\sqrt{a}-\sqrt{b})+\sqrt{a}(5a\sqrt{b}-6b\sqrt{a}+3b\sqrt{b}-2a\sqrt{a})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}$

    $=\frac{3(a^2\sqrt{a}-a^2\sqrt{b}+ab\sqrt{b}-b^2\sqrt{a})}{{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b})}=\frac{3{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}}{{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}}={\color{Red} 3}$
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào $a;b$