Chủ đề này có 2 trả lời

[Leonguyen]

Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ được xác định như sau: $u_1=3,$ $v_1=2,$ $\left\{\begin{matrix} u_{n+1}=u_n^2+2v_n^2 \\ v_{n+1}=2u_nv_n \end{matrix}\right.$ với $n\ge1.$ Tìm công thức tổng quát của hai dãy $(u_n)$ và $(v_n).$

[giappkk]

Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ được xác định như sau: $u_1=3,$ $v_1=2,$ $\left\{\begin{matrix} u_{n+1}=u_n^2+2v_n^2 \\ v_{n+1}=2u_nv_n \end{matrix}\right.$ với $n\ge1.$ Tìm công thức tổng quát của hai dãy $(u_n)$ và $(v_n).$

Hình gửi kèm

• 

[Konstante]

Cách khác là đổi hệ phương trình thành phương trình vector: $$\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ v_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_n & a * v_n \\ v_n & u_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$$.

 

Chéo hóa ma trận $\begin{pmatrix} u_n & a * v_n \\ v_n & u_n \end{pmatrix}$, ta được $$\begin{pmatrix} u_n & a * v_n \\ v_n & u_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{a} & \sqrt{a} \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_n - \sqrt{a} v_n & 0 \\ 0 & u_n + \sqrt{a} v_n \end{pmatrix} {\begin{pmatrix} -\sqrt{a} & \sqrt{a} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}^{-1}$$

 

Thế vào phương trình ban đầu: $${\begin{pmatrix} -\sqrt{a} & \sqrt{a} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}^{-1} \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ v_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_n - \sqrt{a} v_n & 0 \\ 0 & u_n + \sqrt{a} v_n \end{pmatrix} {\begin{pmatrix} -\sqrt{a} & \sqrt{a} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}^{-1} \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$$

 

Hay là: $${\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{a} \\ -1 & -\sqrt{a} \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ v_{n+1} \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} u_n - \sqrt{a} v_n & 0 \\ 0 & u_n + \sqrt{a} v_n \end{pmatrix}  {\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{a} \\ -1 & -\sqrt{a} \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$$

 

Tương đương với: $$\begin{pmatrix} u_{n+1} - \sqrt{a}v_{n+1} \\ -(u_{n+1} + \sqrt{a}v_{n+1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_n - \sqrt{a} v_n & 0 \\ 0 & u_n + \sqrt{a} v_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{n} - \sqrt{a}v_{n} \\ -(u_{n} + \sqrt{a}v_{n}) \end{pmatrix}$$

 

Hay là: $$\begin{pmatrix} u_{n+1} - \sqrt{a}v_{n+1} \\ u_{n+1} + \sqrt{a}v_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (u_{n} - \sqrt{a}v_{n})^{2} \\ (u_{n} + \sqrt{a}v_{n})^{2} \end{pmatrix}$$

 

Từ đây ta thu được kết quả tương tự như trên.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 20-08-2023 - 18:33