Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ được xác định như sau: $u_1=3,$ $v_1=2,$ $\left\{\begin{matrix} u_{n+1}=u_n^2+2v_n^2 \\ v_{n+1}=2u_nv_n \end{matrix}\right.$ với $n\ge1.$ Tìm công thức tổng quát của hai dãy $(u_n)$ và $(v_n).$
#1
Đã gửi 20-08-2023 - 07:16
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#2
Đã gửi 20-08-2023 - 08:21
Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ được xác định như sau: $u_1=3,$ $v_1=2,$ $\left\{\begin{matrix} u_{n+1}=u_n^2+2v_n^2 \\ v_{n+1}=2u_nv_n \end{matrix}\right.$ với $n\ge1.$ Tìm công thức tổng quát của hai dãy $(u_n)$ và $(v_n).$
- Moon Loves Math, Leonguyen và Konstante thích
#3
Đã gửi 20-08-2023 - 18:29
Cách khác là đổi hệ phương trình thành phương trình vector: $$\begin{pmatrix} u_{n+1}\\ v_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_n & a * v_n \\ v_n & u_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$$.
Chéo hóa ma trận $\begin{pmatrix} u_n & a * v_n \\ v_n & u_n \end{pmatrix}$, ta được $$\begin{pmatrix} u_n & a * v_n \\ v_n & u_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{a} & \sqrt{a} \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_n - \sqrt{a} v_n & 0 \\ 0 & u_n + \sqrt{a} v_n \end{pmatrix} {\begin{pmatrix} -\sqrt{a} & \sqrt{a} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}^{-1}$$
Thế vào phương trình ban đầu: $${\begin{pmatrix} -\sqrt{a} & \sqrt{a} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}^{-1} \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ v_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_n - \sqrt{a} v_n & 0 \\ 0 & u_n + \sqrt{a} v_n \end{pmatrix} {\begin{pmatrix} -\sqrt{a} & \sqrt{a} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}^{-1} \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$$
Hay là: $${\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{a} \\ -1 & -\sqrt{a} \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ v_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_n - \sqrt{a} v_n & 0 \\ 0 & u_n + \sqrt{a} v_n \end{pmatrix} {\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{a} \\ -1 & -\sqrt{a} \end{pmatrix}} \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}$$
Tương đương với: $$\begin{pmatrix} u_{n+1} - \sqrt{a}v_{n+1} \\ -(u_{n+1} + \sqrt{a}v_{n+1}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_n - \sqrt{a} v_n & 0 \\ 0 & u_n + \sqrt{a} v_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{n} - \sqrt{a}v_{n} \\ -(u_{n} + \sqrt{a}v_{n}) \end{pmatrix}$$
Hay là: $$\begin{pmatrix} u_{n+1} - \sqrt{a}v_{n+1} \\ u_{n+1} + \sqrt{a}v_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (u_{n} - \sqrt{a}v_{n})^{2} \\ (u_{n} + \sqrt{a}v_{n})^{2} \end{pmatrix}$$
Từ đây ta thu được kết quả tương tự như trên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 20-08-2023 - 18:33
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: dãy số
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh