Chủ đề này có 1 trả lời

[hacuong1129]

Cho bất đẳng thức: $\cos 2A +\frac{1}{64\cos A ^4} -(2\cos 2B +4\sin B) + \frac{13}{4} \le 0$ với $A,B,C$ là 3 góc tam giác.

Tìm $A=?,B=?,C=?$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-08-2023 - 09:33
Tiêu đề & LaTeX

[Moon Loves Math]

Đặt $S=\displaystyle \cos 2A +\frac{1}{64\cos^4 A } -(2\cos 2B +4\sin B) + \frac{13}{4}$

Ta có: 

$\begin{align*} \cos2A+\frac{1}{64\cos^4A}&=2\cos^2A-1+\frac{1}{64\cos^4A} \\ &=\left ( \cos^2A+\cos^2A+\frac{1}{64\cos^4A} \right )-1 \\ &\geq 3. \sqrt[3]{\cos^2A.\cos^2A.\frac{1}{64\cos^4A}}-1 \\ &=\frac{3}{4}-1=\frac{-1}{4} \end{align*}$

Lại có: 

$\begin{align*} \frac{13}{4}-\left ( 2\cos2B+4\sin B \right ) &= \frac{13}{4}-\left ( 2-4\sin^2B+4\sin B \right ) \\ &=4\sin^2B-4\sin B+\frac{5}{4} \\ &=\left ( 2\sin B-1 \right )^2+\frac{1}{4} \geq \frac{1}{4} \end{align*}$

Nên suy ra: $0 \geq S \geq -\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0$, dẫn đến $S=0$.

Do đó: $\cos^2A=\frac{1}{64\cos^4A}$ và $(2\sin B-1)^2=0$.

Nên $A=60^{\circ}, B=30^{\circ}$ và $C=90^{\circ}$.