Chủ đề này có 2 trả lời

[Toi yeu Toan hocc]

Cho dãy số ${U}_{n}$ xác định bởi ${U}_{1} = \sqrt{5} ; {U}_{n+1} = {U}_{n}^{2} - 2$

Đặt ${S}_{n} = \frac{1}{U_{1}} + \frac{1}{{U_{1}}.{U}_{2}} + \ldots + \frac{1}{{U}_{1}.{U}_{2}\ldots {U}_{n}}$

Tính $\lim {S}_{n}$

Lần đầu em gõ latex nên có gì sai mong mọi người thông cảm ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-08-2023 - 09:20
Tiêu đề & LaTeX

[perfectstrong]

Bạn xem cách viết LaTeX ở đây nhé https://diendantoanh...-trên-diễn-đàn/

Bạn chịu khó gộp công thức vào chung một cặp dấu $ chứ đừng tách ra, kẻo công thức hiển thị không đều, không đẹp.

[Moon Loves Math]

Xét $\forall n\geq2$, ta có:

$\frac{1}{U_1U_2\cdots U_n}=\frac{1}{2}.\frac{2}{U_1U_2\cdots U_n}=\frac{1}{2}.\frac{U_n^2-U_{n+1}}{U_1U_2\cdots U_n}=\frac{1}{2}.\left [ \frac{U_n}{U_1U_2\cdots U_{n-1}}-\frac{U_{n+1}}{U_1U_2\cdots U_n} \right ]$

Từ đây, ta có thể viết gọn lại $S_n$, 

$\begin{align*} S_n&=\frac{1}{U_1}+\frac{1}{U_1U_2} \cdots +\frac{1}{U_1U_2\cdots U_n} \\ &= \frac{1}{U_1}+\frac{1}{2}.\left [ \frac{U_2}{U_1}-\frac{U_3}{U_1U_2}+\cdots+\frac{U_n}{U_1U_2 \cdots U_{n-1}} - \frac{U_{n+1}}{U_1U_2 \cdots U_n} \right ]\\ &= \frac{1}{U_1}+\frac{1}{2}.\left [\frac{U_2}{U_1} - \frac{U_{n+1}}{U_1U_2 \cdots U_n} \right ] \end{align*}$

Đến đây, ta cần tính được giới hạn:  $L=\lim \frac{U_{n+1}}{U_1U_2 \cdots U_n}$

Bằng phương pháp quy nạp, ta dễ dàng kiểm chứng được: $(U_n)$ là một dãy tăng và không bị chặn trên, suy ra: $\lim U_n= +\infty$

Xét: $U_{n+1}^2-4=\left ( U_n^2-2 \right )^2-4=U_n^4-4U_n^2=U_n^2\left ( U_n^2-4 \right )$

$\Rightarrow U_n^2=\frac{U_{n+1}^2-4}{U_n^2-4} \ \forall n$

Suy ra: $U_1^2U_2^2\cdots U_n^2=\frac{U_2^2-4}{U_1^2-4}.\frac{U_3^2-4}{U_2^2-4}\cdots \frac{U_{n+1}^2-4}{U_n^2-4}=\frac{U_{n+1}^2-4}{U_1^2-4} \\ \Rightarrow U_1U_2\cdots U_n=\sqrt{\frac{U_{n+1}^2-4}{U_1^2-4}}$

Do đó, $L=\lim \frac{U_{n+1}}{U_1U_2 \cdots U_n}=\lim \frac{U_{n+1}\sqrt{U_1^2-4}}{\sqrt{U_{n+1}^2-4}}=\sqrt{U_1^2-4}$

Nên $\lim S_n=\frac{1}{U_1}+\frac{1}{2}.\left [ \frac{U_2}{U_1}-\sqrt{U_1^2-4} \right ]=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$