Chủ đề này có 1 trả lời

[Toi yeu Toan hocc]

Cho dãy số (U_n) được xác định bởi công thức truy hồi $U_{1}=1, U_{n+1}=U_{n}+\frac{1}{(n+2)\sqrt{n+1}}, n\geqslant 1$

chứng minh dãy số trên bị chặn

[Le Binh Minh]

Ta dễ dàng nhận thấy dãy này là dãy tăng, do đó ta chỉ cần chứng minh thêm dãy này bị chặn trên

Ta có:

$u_{1}=1; u_{2}= u_{1}+\frac{1}{3\sqrt{2}}; u_{3}=u_{2}+ \frac{1}{4\sqrt{3}};...; u_{n}= u_{n-1}+ \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}$

Suy ra: $\sum_{2}^{n}u_{i}=\sum_{1}^{n-1}u_{k} +\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+ \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}$

Điều này tương đương: $u_{n}= 1 + \frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+ \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}$

Đến đây thì quay về 1 bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp làm trội làm giảm quen thuộc bạn tham khảo cách xử lí đó ở đây:

https://hoc247.net/h...-faq314074.html

Ta tìm được chặn trên từ đó