Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{1}{2}.\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

- - - - -

Lời giải chuyenndu, 05-09-2023 - 19:06

$VT=\sum\frac{a^4}{a^2(b+c)}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2(b+c)}= \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a(b^2+c^2)}$

mà $a(b^2+c^2)=\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{2a^2(b^2+c^2)(b^2+c^2)}\le \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\left( \frac{2a^2+b^2+c^2+b^2+c^2}{3}\right )^3}$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Chứng minh rằng với $a, b, c >0$:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{1}{2}.\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$



#2
chuyenndu

chuyenndu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
✓  Lời giải

$VT=\sum\frac{a^4}{a^2(b+c)}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2(b+c)}= \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a(b^2+c^2)}$

mà $a(b^2+c^2)=\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{2a^2(b^2+c^2)(b^2+c^2)}\le \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\left( \frac{2a^2+b^2+c^2+b^2+c^2}{3}\right )^3}$



#3
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Chứng minh rằng với $a, b, c >0$:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{1}{2}.\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

Một cách chứng minh thú zị:

Đặt: $a+b+c=3x$, $ab+bc+ca=3y^2$, $abc=z^3$ thì điều phải chứng minh quy về:

$$81x^4y^4+36y^8+12xy^4z^3+13x^2z^6+2y^2z^6 \geq 90x^3y^2z^3+54x^2y^6$$

Kiểm tra trường hợp $b=c$ là đủ: Điều phải chứng minh viết lại thành: $$a^4+3b^4+4a^2b^2 \geq 2a^3b+6ab^3$$

Đúng theo AM-GM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 05-09-2023 - 20:33





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh