Chưa có bài trả lời

[bangbang1412]

Cho $X = \mathbb{C}$ là mặt phẳng phức, xét ánh xạ chỉnh hình
$$f: X \longrightarrow X, z \longmapsto z^2.$$ Kí hiệu $\mathbb{C}_X$ là bó hằng với giá trị $\mathbb{C}$ trên $\mathbb{C}$.

• Cho $x \in X$, tính thớ của bó $f_*(\mathbb{C}_X)$ tại $x$, suy ra rằng bó này không hằng địa phương.
• Xét phân hoạch $X = Y \sqcup Z$ trong đó $Y = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ and $Z = \left \{0 \right \}$. Chứng minh rằng các hạn chế $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$ và $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Z}$ đều là các bó hằng địa phương (locally constant).
• Xét phương trình $2zf'(z) = f(z)$ trên $Y$, chứng minh rằng đơn đạo của phương trình này là không tầm thường. Hệ số $2$ trong $2zf'(z)$ có quan trọng không? Nếu thay đổi bằng một số không nguyên thì đơn đạo thay đổi như thế nào?

Phần tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng $\mathbb{C}_Y$ là một hạng tử trực tiếp của $f_*(\mathbb{C}_X)_{\mid Y}$. Định nghĩa bó $\mathcal{Q}$ trên $\mathbb{C}^{\times} = \mathbb{C} \setminus \left \{0 \right \}$ bởi
$$\mathcal{Q}(U) = \left \{g: U \longrightarrow \mathbb{C} \mid 2zg'(z) = g(z) \right \}$$ với mỗi tập mở $U \subset \mathbb{C}^{\times}$.

• Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ là hằng địa phương.
• Chứng minh rằng $\mathcal{Q}$ không hằng bằng cách chỉ ra nó không có một lát cắt toàn cục nào.
• Bằng cách xét hai cấu xạ $$\mathbb{C}_Y(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto g \circ f$$ và $$\mathcal{Q}(U) \longrightarrow (f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y)(U), \ \ \ \ g \longmapsto \frac{g \circ f}{z}$$ hãy chứng minh rằng $(f_{\mid Y})_*(\mathbb{C}_Y) \simeq \mathbb{C}_Y \oplus \mathcal{Q}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 05-09-2023 - 19:21