Cho hai dãy $\left ( a_{n} \right ),\left ( b_{n} \right )$ xác định bởi $a_{1} = b_{1}=1$ và $a_{n+1}=a_{n}+b_{n}$, $b_{n+1}=a_{n}b_{n}$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng các số hạng ở dãy $\left ( a_{n} \right )$ đôi một nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh rằng các số hạng ở dãy $\left ( a_{n} \right )$ đôi một nguyên tố cùng nhau.
Bắt đầu bởi giappkk, 05-09-2023 - 21:45
#2
Đã gửi 05-09-2023 - 23:36
Hoang72
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 539 Bài viết
Thiếu úy
Ta có $b_{n+1} = a_nb_n = a_na_{n-1}b_{n-1} = ... = a_n...a_1b_1 = a_n...a_1,\forall n\in\mathbb N^*$
$\Rightarrow b_n = \prod_{i=1}^{n-1} a_i,\forall n\in\mathbb N^*$ (với quy ước tích rỗng có giá trị bằng $0$)
Như vậy, $a_{n+1} = a_n + \prod_{i=1}^{n-1} a_i,\forall n\in\mathbb N^*$.
Đến đây chỉ cần sử dụng quy nạp chứng minh $\gcd\left(a_n,a_1...a_{n-1}\right)=1$ ta sẽ suy ra được các số hạng của dãy $\left\{a_n\right\}$ đôi một nguyên tố cùng nhau.
- perfectstrong, Moon Loves Math, Leonguyen và 1 người khác yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
