Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (5,0 điểm)
Cho dãy số thực $\left ( x_n \right )$ có $x_1 \in \left ( 0; \dfrac{1}{2} \right )$ và $x_{n+1}=3x_n^2-2nx_n^3$ với mọi $n \geq 1$.
a) Chứng minh $\lim{x_n}=0$.
b) Với mỗi $n \geq 1$ đặt $y_n=x_1+2x_2+...+nx_n$. Chứng minh rằng dãy $\left ( y_n \right )$ có giới hạn hữu hạn.
Bài 2 (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn
$f(x)f(y)=f(xy-1)+xf(y)+yf(x) \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}$
Bài 3 (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trực tâm $H$ và $D,E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$ với tâm $I$ và $K,J$ lần lượt là trung điểm $BC, EF$. Cho $HJ$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $GK$ cắt lại $(I)$ tại $L$.
a) Chứng minh rằng $AL$ vuông góc với $EF$.
b) Cho $AL$ cắt $EF$ tại $M$, $IM$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $IEF$ tại $N$, $DN$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng $PE,QF,AK$ đồng quy.
Bài 4 (5,0 điểm)
Với số nguyên $n \geq 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.
a) Chứng minh rằng $s(n)= \dfrac{n}{2} \left (n+1- \varphi (n) \right )$, trong đó $\varphi (n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvipmessi97: 25-12-2020 - 11:57
