Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

VMO 2020-2021 Ngày 1

vmo

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 hoangvipmessi97

hoangvipmessi97

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu

Đã gửi 25-12-2020 - 11:56

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1
(5,0 điểm)

Cho dãy số thực $\left ( x_n \right )$ có $x_1 \in \left ( 0; \dfrac{1}{2} \right )$ và $x_{n+1}=3x_n^2-2nx_n^3$ với mọi $n \geq 1$.

a) Chứng minh $\lim{x_n}=0$.

b) Với mỗi $n \geq 1$ đặt $y_n=x_1+2x_2+...+nx_n$. Chứng minh rằng dãy $\left ( y_n \right )$ có giới hạn hữu hạn.

Bài 2 (5,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn

$f(x)f(y)=f(xy-1)+xf(y)+yf(x) \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}$

 

Bài 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có trực tâm $H$ và $D,E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$. Gọi $(I)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $HEF$ với tâm $I$ và $K,J$ lần lượt là trung điểm $BC, EF$. Cho $HJ$ cắt lại $(I)$ tại $G$, $GK$ cắt lại $(I)$ tại $L$.

a) Chứng minh rằng $AL$ vuông góc với $EF$.
b) Cho $AL$ cắt $EF$ tại $M$, $IM$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $IEF$ tại $N$, $DN$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng $PE,QF,AK$ đồng quy.

 

Bài 4 (5,0 điểm)

Với số nguyên $n \geq 2$, gọi $s(n)$ là tổng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không nguyên tố cùng nhau với $n$.

a) Chứng minh rằng $s(n)= \dfrac{n}{2} \left (n+1- \varphi (n) \right )$, trong đó $\varphi (n)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.

b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n \geq 2$ thoả mãn $s(n)=s(n+2021)$.
 
 
- HẾT -
 
(Nguồn: Hướng tới Olympic Toán VN)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvipmessi97: 25-12-2020 - 11:57






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh