Chủ đề này có 1 trả lời

[William Nguyen]

Cho dãy số

$(u_n):\begin{cases} u_1=2022 & \\u_{n+1}=\frac{u_n}{n.u_n^2+1}, & \forall n \in \mathbb{N}^*\end{cases}$

Chứng minh dãy số $(v_n): v_n=\frac{1}{n.u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

(Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh lớp 10, 11 năm 2021-2022) 

[chuyenndu]

đặt $x_n=\frac{1}{u_n}\Rightarrow x_{n+1}=x_n+\frac{n}{x_n}$

$x_{n+1}^2=x_n^2+2n+\frac{n^2}{x_n^2}>x_n^2+2n>x_{n-1}^2+2(n-1)+2n>...>x_1^2+n(n+1)$

ngoài ra $\frac{n^2}{x_n^2}<\frac{n^2}{x_1^2+(n-1)n}<2\Rightarrow x_{n+1}^2<x_n^2+2n+2<...<x_1^2+n(n+1)+2n$

vậy $x_1^2+n(n+1)<x_{n+1}^2<x_1^2+n(n+1)+2n\Rightarrow lim\frac{x_n}{n}=1$