Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

VMO 2020-2021 Ngày 2

vmo

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 hoangvipmessi97

hoangvipmessi97

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu

Đã gửi 26-12-2020 - 11:57

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 5 
(6,0 điểm)

Cho đa thức $P(x) = a_{21}x^{21} + a_{20}x^{20} + .. +a_1x+a_0$ có các hệ số thuộc $[1011,2021]$. Biết rằng $P(x)$ có nghiệm nguyên và $c$ là một số dương sao cho $\left | a_{k-2}- a_k \right | \leq c$ với mọi $k \in \left\{ 0,1,...,19 \right \}$.
a) Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm nguyên.
b) Chứng minh $\displaystyle \sum_{k=0}^{10} \left ( a_{2k+1} - a_{2k} \right ) ^2 \leq 440c^2$.

 

Bài 6 (7,0 điểm)

Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có thể có hộp không có viên bi nào).

a) Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một hộp có số bi trong hai cách chia là khác nhau)?

b) Sau khi chia, học sinh này sơn 30 viên bi đó bởi một số màu (mỗi viên được sơn đúng một màu, một màu có thể sơn cho nhiều viên bi), sao cho không có 2 viên bi nào trong cùng một hộp có màu giống nhau và từ 2 hộp bất kỳ không thể chọn ra được 8 viên bi được sơn bởi 4 màu. Chứng minh rằng với mọi cách chia, học sinh đều phải dùng không ít hơn 10 màu để sơn bi.

c) Hãy chỉ ra một cách chia sao cho với đúng 10 màu học sinh có thể sơn bi thoả mãn các điều kiện ở câu b).

 

Bài 7 (7,0 điểm)

Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$. Đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$ cắt trung tuyến đi qua $A$ của tam giác $ABC$ tại $G$. Cho $BG,CG$ lần lượt cắt $CD,BD$ tại $E,F$.

a) Đường thẳng đi qua trung điểm của $BE$ và $CF$ lần lượt cắt $BF,CE$ tại $M,N$. Chứng minh rằng các điểm $A,D,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Cho $AD,AG$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBC, GBC$ tại $H,K$. Trung trực của $HK,HE,HF$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $R,P,Q$. Chứng minh rằng các điểm $R,P,Q$ thẳng hàng.

 

- HẾT-

Hình gửi kèm

  • 133219717_744158923200676_1226134734466789534_n.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvipmessi97: 26-12-2020 - 20:52


#2 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 525 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-12-2020 - 18:14

$7a/$ Gọi $T$ là trung điểm của $BC,I$ là trung điểm của $CF,L$ là trung điểm của $BE.$

Ta có $\Delta TGB\sim\Delta TBA(g.g)\Rightarrow TG.TA=TB^2=TC^2\Rightarrow \Delta TGC\sim\Delta TCA(c.g.c)\Rightarrow \widehat{TCG}=\widehat{TAC}$.

Do đó: $\widehat{BFC}=180^o-\widehat{FBC}-\widehat{FCB}=\widehat{DBC}-\widehat{TAC}=\widehat{BAC}-\widehat{TAC}=\widehat{GAB}$.

Từ đó suy ra tứ giác $FAGB$ nội tiếp. Tương tự, ta cũng có tứ giác $EAGC$ nội tiếp.

Khi đó $CB^2=CG.CF\Rightarrow CB.CT=CG.CI\Rightarrow \Delta CTG\sim\Delta CIB(c.g.c)\Rightarrow \frac{BI}{GT}=\frac{CB}{CG}$. (1)

Tượng tự $\frac{CL}{GT}=\frac{BC}{BG}$. (2)

Lại có ta có $\frac{BG}{AB}=\frac{TB}{TA}=\frac{TC}{TA}=\frac{CG}{AC}\Rightarrow \frac{BG}{CG}=\frac{AB}{AC}$. (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{BI}{AB}=\frac{CL}{AC}$. (*)

Mặt khác bằng biến đổi góc ta tính được $\widehat{ABI}=\widehat{ACL}=|\widehat{ABC}-\widehat{ACB}|$.

$\Rightarrow \Delta AIL\sim\Delta ABC\Rightarrow \widehat{AIL}=\widehat{ABC}=\widehat{AFB};\widehat{ALI}=\widehat{ACB}=\widehat{AEC}$

Suy ra các tứ giác $AIMF,ALNE$ nội tiếp.

Từ đó: $\widehat{MAN}=\widehat{MAI}+\widehat{IAL}+\widehat{LAN}=\widehat{MFI}+\widehat{BAC}+\widehat{NEL}=\widehat{GBC}+\widehat{GCB}+\widehat{BAC}=2\widehat{BAC}=180^o-\widehat{BDC}$.

Do đó tứ giác $AMDN$ nội tiếp hay ta có đpcm.

Hình gửi kèm

  • Untitled.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 12-01-2021 - 15:14

:mellow:  :mellow:  :mellow:


#3 hoangvipmessi97

hoangvipmessi97

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu

Đã gửi 01-01-2021 - 22:57

Hình phần b khá căng

Hình phần a là tính chất điểm Humpty quen thuộc

Có một bạn từng thi kết quả rất cao IMO, hiện đã du học ở Hoa Kỳ, đã có phát biểu như sau (mình trích lược) - về câu 7b:
"Mình có một cách tiếp cận cho bài 7b bằng một tính chất của phép nghịch đảo đối xứng. Tính chất đó là nếu ta xét phép nghịch đảo đối xứng tâm $A$, phương tích $AB.AC$ và đối xứng qua phân giác góc $BAC$ thì khi đó, nếu phép biến hình này biến đường tròn $(I)$ đi qua $B,C$ thành đường tròn $(J)$ đi qua $B,C$, thì $AI,AJ$ đẳng giác trong góc $BAC$."

Không biết ý kiến mọi người thế nào ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvipmessi97: 01-01-2021 - 22:57


#4 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 12-01-2021 - 15:44

$7/$

$a)$ Do $\widehat{ACE}=\widehat{ABC}=\widehat{AFB}=\widehat{AGE}$ nên $A,E,C,G$ đồng viên $\Rightarrow\widehat{AEC}=\widehat{AGF}=\widehat{ABF}=\widehat{ACB}$ nên $(AEC)$ tiếp xúc $BC.$

Gọi $I,J$ là trung điểm $BE,CF$ thì $\Delta AFC\sim\Delta ABE\Rightarrow\Delta AJC\sim\Delta AIE\Rightarrow\widehat{AJF}=\widehat{AIG}\Rightarrow A,I,J,G$ đồng viên.

Do đó $\widehat{AJI}=\widehat{AGI}=\widehat{AFM}\Rightarrow A,F,M,J$ đồng viên. Lại có $\widehat{AFB}=\widehat{ABC}=\widehat{ACE}$ nên $A,F,D,C$ đồng viên.

Từ đó $\widehat{AMN}=\widehat{AFC}=\widehat{ADN}$ nên $A,D,M,N$ đồng viên.

$b)$ $AH,BH,CH$ cắt lại $(O)$ ở $X,Y,Z.H_x,H_y,H_z$ đối xứng $H$ qua trung điểm $YZ,ZX,XY.$ Khi đó $XH_x,YH_y,ZH_z$ đồng quy tại $T$ là trung điểm của mỗi đường.

Đường thẳng qua $T$ vuông góc $XH_x,YH_y,ZH_z$ cắt $YZ,ZX,XY$ tại $R',P',Q'$ thì $P',Q',R'$ thẳng hàng. Lại có $KBHC\sim XYH_xZ$ nên $\frac{RB}{RC}=\frac{R'Y}{R'Z}.$

Tương tự suy ra $\frac{RB}{RC}.\frac{PC}{PA}.\frac{QA}{QB}=\frac{R'Y}{R'Z}.\frac{P'Z}{P'X}.\frac{Q'X}{Q'Y}=1$ nên $P,Q,R$ thẳng hàng.

Hình gửi kèm

  • VMO2021-7a.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 12-01-2021 - 20:57

Sống thành thật một cách thông minh.
Sống lãng mạn một cách thực tế.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmo

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh