Chủ đề này có 9 trả lời

[AnAn333]

Giải pt x,y nguyên dương

 

$xy^{2} + 2xy +x=9y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnAn333: 08-09-2023 - 23:29

[nhancccp]

Lời giải

Giải pt x,y nguyên dương

 

$xy^{2} + 2xy +x=9y$

Phương trình đã cho tương đương với  $xy^2+(2x-9)y+x=0$,$\Delta=-36x+81$.

Để phương trình có nghiệm nguyên thì $-36x+81$ là số chính phương hay tồn tại $k \in N$ thỏa $-36x+81=k^2 \Leftrightarrow x=\frac{81-k^2}{36}$  suy ra $k^2-81 \leq 0 \Leftrightarrow -9 \leq k \leq 9$.

Vì $k \in N$ nên $k \in [1;9]$,thế từng giá trị của k vào ta được nghiệm nguyên dương $x=2$ và $y=2$ khi $k=3$

Vậy $(x;y)=(2;2)$

[HaiDangPham]

Giải pt x,y nguyên dương

 

$xy^{2} + 2xy +x=9y$

 

Phương trình tương đương $x(y+1)^2=9y$. Ta lại có $4y\leq (y+1)^2$ và lưu ý $x, y$ nguyên dương, suy ra $x.4y<9y$ hay $x<\frac{9}{4}$. 

Vậy $x=1$ hoặc $x=2$. Tới đây thay ngược trở lại phương trình ban đầu ta tìm được giá trị của $y$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 09-09-2023 - 18:32

[nhancccp]

Phương trình tương đương $x(y+1)^2=9y$. Ta lại có $4y\leq (y+1)^2$ và lưu ý $x, y$ nguyên dương, suy ra $x.4y<9y$ hay $x<\frac{9}{4}$. 

Vậy $x=1$ hoặc $x=2$. Tới đây thay ngược trở lại phương trình ban đầu ta tìm được giá trị của $y$. 

Ban đầu em cũng làm đến chỗ bôi đỏ nhưng không nghĩ ra được nữa

Tư duy của em là cố gắng tách phần nguyên nhưng thất bại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 09-09-2023 - 21:01

[dinhvu]

Câu này là đề thi vòng 1 Cầu Giấy đúng không bạn?

[dinhvu]

Phương trình tương đương $x(y+1)^2=9y$. Ta lại có $4y\leq (y+1)^2$ và lưu ý $x, y$ nguyên dương, suy ra $x.4y<9y$ hay $x<\frac{9}{4}$. 

Vậy $x=1$ hoặc $x=2$. Tới đây thay ngược trở lại phương trình ban đầu ta tìm được giá trị của $y$. 

Một cách khác là có $(y,y+1)=1$ nên 9 chia hết cho $(y+1)^2$ mà $(y+1)^2\geq (1+1)^2=4$ nên $(y+1)^2=9\Rightarrow y=2\Rightarrow x=2$

[phatmetoanhsg]

$xy^2+2xy+x=9y(1)$
$\Leftrightarrow xy^2+2xy+x-9y=0$
$\Leftrightarrow y^2x+y(2x-9)+x=0$

$\Delta=(2x-9)^2-4x.x = 4x^2-36x+81-4x^2 =-36x+81$

Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì $\Delta \ge 0$

suy ra $-36x+81 \ge 0 \Leftrightarrow -36x \ge -81 \Leftrightarrow 36x \le 81$

suy ra $x=1$ hoặc $x=2$

xét $x=1$ suy ra (1) trở thành $y^2+2y+1=9y \Leftrightarrow y^2-7y+1=0$

$\Delta=(-7)^2-4.1.1=45 \ge 0$

Giải ra tìm nghiệm thấy $y$ ko có nghiệm nguyên nên loại

Tiếp tục xét với $x=2$

(1) trở thành: $2y^2+4y+2=9y \Leftrightarrow 2y^2+4y+2-9y=0 \Leftrightarrow 2y^2-5y+2=0$

$\Delta=(-5)^2-4.2.2=9 \ge 0$

suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$y_1=5-\frac{3}{2}2=\frac{1}{2}$(loại)

$y_2=5+\frac{3}{2}2=2$(nhận)

vậy $(x;y)= (2;2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-09-2023 - 12:19
LaTeX

[uca210]

ta có x$\left ( y+1 \right )^ 2$=9y

=) x=$\frac{9y}{\left ( y+1 \right )^ 2}$

vì x nguyên nên $9y\vdots (y+1)^2)$

mà (y;y+1)=1 nên $9\vdots (y+1)^2$

=) $(y+1)^2$ $\in$Ư(9)

vì y nguyên dương và $(y+1)^2$ là số chính phương nên y+1=3

=) y=2 và x=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi uca210: 12-01-2024 - 20:22

[thvn]

Ban đầu em cũng làm đến chỗ bôi đỏ nhưng không nghĩ ra được nữa

Tư duy của em là cố gắng tách phần nguyên nhưng thất bại

 

Bài toán này không khó, quan trọng là đi theo hướng nào cho hiệu quả (trong khoảng thời gian thi)

Khi rút x theo y thì nhớ lý luận (y + 1) khác 0 để có điểm trọn vẹn.

Ý tưởng tách phần nguyên như của em không tồi và hoàn toàn có thể làm được, vấn đề là em chưa chịu đi đến cùng mà thôi.

Lát họp phụ huynh xong mình viết tiếp nhé! 

[thvn]

OK chúng ta tiếp tục nào!

Từ $x(y + 1)^{2} = 9y$ và $y + 1 > 0  \Rightarrow x = \frac{9y}{(y + 1)^{2}}$

(Nếu bài toán chỉ là tìm ngiệm nguyên thì phải xét riêng y = -1 trước khi chia nhé)

$\Rightarrow xy = \frac{9y^{2}}{(y + 1)^{2}} = 9 -\frac{18y+9}{(y + 1)^{2}}$

$\Rightarrow xy + 2x = 9 -\frac{9}{(y + 1)^{2}}$

$\Rightarrow (y + 1)^{2}|9$

$\Rightarrow (y + 1)^{2} = 9 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow x = 2$ (thỏa mãn)

Vậy x = y = 2 là cặp nghiệm nguyên duy nhất của phương trình đã cho.

 

Lưu ý:

- Với các bạn lớp 6-7 thì phương pháp tách phần nguyên hoặc lý luận như bạn uca210 tương đối phù hợp, hiệu quả và dễ hiểu. Phương pháp đánh giá hoặc miền giá trị dành cho học sinh 8-9 là hợp lý (thậm chí một số nơi còn giới hạn, chưa cho dùng $\Delta$ nếu kỳ thi lọc đội tuyển diễn ra sớm. Tốt nhất các bạn nên tìm hiểu kỹ quy chế thi để tránh mất điểm đáng tiếc)

- Chúng ta đã tiến hành nhân chia trong quá trình làm nên nói chung khi tìm ra nghiệm cần phải thử lại để có được kết luận cuối cùng cho bài toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 12-01-2024 - 23:05