Chủ đề này có 1 trả lời

[Betabaongoc]

tìm các số tự nhiên a,b,c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên: 

$P=\frac{\left ( ab-1 \right )\left ( bc-1 \right )\left ( ca-1 \right )}{abc}$

nhờ các bạn giúp mình với ạ.

[Nguyen Bao Khanh]

Để $P \in \mathbb{Z} \implies \frac{(abc)^2-abc(a+b+c)+(ab+bc+ca-1)}{abc} \in \mathbb{Z} \implies ab+bc+ca-1 \vdots abc \to ab+bc+ac-1=kabc (k\in \mathbb{N^*})$. Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a >b>c \ge 0$.

 

Nếu $c>0$, ta có $k= \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}-\frac{1}{abc} < \frac{3}{c} \le 3$. 

 

Với $k=1 \Rightarrow ab+bc+ac-1=abc < 3ab \Rightarrow c=1 \text{ hoặc }c=2$. 

• $c=1, a+b=1$.
• $c=2, ab-2a-2b+1=0$.

Với $k=2 \Rightarrow ab+bc+ac-1=2abc <3ab \Rightarrow c=1 \Rightarrow ab+a+b-1=2ab \Rightarrow (a-1)(b-1)=2$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 16-10-2023 - 10:24