Chủ đề này có 4 trả lời

[Mr handsome ugly]

Cho a;b là số tự nhiên và c là số tự nhiên sao cho $a^{2}+b^{2}=c$. Liệu với mỗi số c cố định thì có tồn tại nhiều bộ số a;b cùng thỏa $a^{2}+b^{2}=c$ và c có đặc điểm như thế nào thì tồn tại nhiều bộ số a;b và c có tính chất gì thì chỉ tồn tại 1 bộ số a;b tự nhiên  duy nhất thỏa điều kiện trên 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 02-01-2021 - 21:03

[perfectstrong]

Mình chưa suy nghĩ nhiều nhưng nếu bạn tìm hiểu về số nguyên Gauss (có dạng $a+bi$) thì có lẽ tiếp cận bài toán hoàn chỉnh.

 

https://en.wikipedia...aussian_integer

[chanhquocnghiem]

Cho a;b là số nguyên và c là số tự nhiên sao cho $a^{2}+b^{2}=c$. Liệu với mỗi số c cố định thì có tồn tại nhiều bộ số a;b cùng thỏa $a^{2}+b^{2}=c$ và c có đặc điểm như thế nào thì tồn tại nhiều bộ số a;b và c có tính chất gì thì chỉ tồn tại 1 bộ số a;b nguyên duy nhất thỏa điều kiện trên 

Xét 1 ví dụ rồi suy gẫm nhé :

$2^2+3^2=13$

$(-2)^2+3^2=13$

$2^2+(-3)^2=13$

$(-2)^2+(-3)^2=13$

$3^2+2^2=13$

$(-3)^2+2^2=13$

$3^2+(-2)^2=13$

$(-3)^2+(-2)^2=13$

 

[Mr handsome ugly]

Xét 1 ví dụ rồi suy gẫm nhé :

$2^2+3^2=13$

$(-2)^2+3^2=13$

$2^2+(-3)^2=13$

$(-2)^2+(-3)^2=13$

$3^2+2^2=13$

$(-3)^2+2^2=13$

$3^2+(-2)^2=13$

$(-3)^2+(-2)^2=13$

em đã sửa lại đề thành số tự nhiên rồi ạ; em nghĩ chúng ta nên quan tâm hơn đến các trường hợp a;b thay đổi hơn là việc chúng trái dấu; còn a và b do tính chất bình đẳng nên em nghĩ chúng ta nên định nghĩa 2 bộ số (a;b) là bằng nhau nếu $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}$

;kết hợp điều này với đề bài ta tìm được $a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}$ từ đó suy ra hệ tự nhiên $a_{1}+b_{1}=a_{2}+b_{2}$ và $a_{1}b_{1}=a_{2}b_{2}$ rồi chứng minh $a_{1}=a_{2} ;b_{1}=b_{2}$ ; từ đó ta được 2 bộ số (a;b) chỉ bằng nhau khi $a_{1}=a_{2} ;b_{1}=b_{2}$ từ đó với mỗi một tổng của a+b ta chi có 1 bộ số; ý tưởng của em rời rạc quá mong có ai chứng minh giúp 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 02-01-2021 - 21:27

[perfectstrong]

\[c = {a^2} + {b^2} = {a^2} - {\left( {ib} \right)^2} = \left( {a - ib} \right)\left( {a + ib} \right)\]

Như vậy chỉ cần đếm số các ước số phức của $c$ trên $\mathbb{Z}[i]$ là có thể suy ra số bộ $(a;b)$ thỏa đề. Còn đếm thế nào thì phải dựa vào phân tích thừa số trên $\mathbb{Z}[i]$. Trong link wikipedia mình đưa trên đã có giới thiệu và hướng dẫn rồi.