Chủ đề này có 2 trả lời

[mathmeanlove]

Xin phép mn cho em hỏi bài này ạ!

 

Chứng minh rằng nếu một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình ít hơn số ẩn thì hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

 

Đề kiểm tra có câu này em có tìm hiểu thì biết định lý Kronecker - Capelli. Vậy nghĩa là theo yêu cầu đề thì mình đi chứng minh định lý này ạ?

 

Em cảm ơn ạ!

[bangbang1412]

Hãy giả sử ta đang làm việc trên một trường $K$ vô hạn nào đó. Gọi $A$ là một ma trận cỡ $(m \times n)$ với $m < n$ và ta xét hệ phương trình $Ax=\beta$ với $\beta \in K^m$. Giả sử phương trình có một nghiệm $x_0$, ta sẽ chứng minh nó có vô số nghiệm. Thực vậy, mọi nghiệm khác của nó đều có dạng $x + x_0$ với $x$ là nghiệm của $Ax=0$. Như vậy chỉ cần chứng minh phương trình thuần nhất $Ax = 0$ có vô số nghiệm.

 

Nếu bạn xem $A$ như một ánh xạ tuyến tinh thì tập nghiệm của nó chính là $\mathrm{Ker}(A)$ và do đó có số chiều là $n - \mathrm{rank}(A)$ theo định lý đẳng cấu thứ nhất. Tuy nhiên $\mathrm{rank}(A) \leq \mathrm{min} \left \{m,n \right \} = m$ nên số chiều $\dim \mathrm{Ker}(A)>0$, chứng tỏ $Ax=0$ có vô số nghiệm.

 

Nếu bạn muốn tránh sử dụng công thức số chiều thì có thể sử dụng phép khử Gauss, khi dùng phép khử Gauss với một hệ có số phương trình ít hơn số ẩn, sẽ luôn dư ra một số toạ độ tự do và có thể chọn tuỳ ý, dẫn đến vô hạn cách chọn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 11-11-2023 - 20:37

[Dau2024]

Theo đề bài thì bạn chỉ cần dùng Định lý Kronecker - Capelli để giải thích cho bài này thôi chứ ko cần cm đlý này.

 

Hệ pttt luôn có dạng $Ax=b$, trong đó $A$ là ma trận $n$ hàng $m$ cột, $x$ và $b$ là các ma trận cột có $n$ dòng. Theo gt của bài toán " số ẩn lớn hơn số phương trình" nên $m<n$.

 

Ta có 2 trường hợp xẩy ra:

 

- Nếu $rank(A) < rank(\overline{A})$ ($A$ mở rộng, tức $A$ ghép thêm cột $b$) thì hệ vô nghiệm.

 

- Nếu $rank(A) = rank(\overline{A})$thì hệ có nghiệm, từ đó cm nó có vsn như bạn bangbang1412 gt ở trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dau2024: 09-12-2023 - 21:06
LaTeX