Chủ đề này có 5 trả lời

[Mr handsome ugly]

Tìm tất cả các hàm f :$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $2f(x)=f(x^{2})$ với x là số thực 

Tổng quát hóa lên thành $nf(x)=f(x^{n})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 04-01-2021 - 19:41

[pcoVietnam]

Bậc của $f(x)<f(x^2)$ nên $f(x)$ phải là hàm hằng

Suy ra $f(x) = c, \forall x \in\mathbb{R}$

Thay vào được $c=0$

Vậy $f(x)=0,\forall x \in\mathbb{R}$

Tương tự với trường hợp tổng quát, với $n\in\mathbb{Z}$ (maybe)

[Syndycate]

Mấy chú thử bài này xem sao   

Tìm tất cả các hàm số liên tục $f: [0,1]\rightarrow  \mathbb{R}$ và thỏa mãn : $f(x)=2x.f(x^2)$ với mọi $x\in [0,1]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Syndycate: 24-02-2021 - 15:36

[perfectstrong]

Bậc của $f(x)<f(x^2)$ nên $f(x)$ phải là hàm hằng

Suy ra $f(x) = c, \forall x \in\mathbb{R}$

Thay vào được $c=0$

Vậy $f(x)=0,\forall x \in\mathbb{R}$

Tương tự với trường hợp tổng quát, với $n\in\mathbb{Z}$ (maybe)

Sai. Đề yêu cầu tìm hàm số chứ không phải đa thức. Nếu như đề bài giải trên $\mathbb{R}^+$ thì hàm $f(x) = \ln x$ thỏa đề đấy.

[pcoVietnam]

Sai. Đề yêu cầu tìm hàm số chứ không phải đa thức. Nếu như đề bài giải trên $\mathbb{R}^+$ thì hàm $f(x) = \ln x$ thỏa đề đấy.

Cảm ơn anh. Tại em cũng hơi nghi ngờ về cách làm này. Nhưng mà hàm $f(x) = \ln x$ thì hơi quá tầm hiểu biết của em nên em sẽ nghiên cứu thêm 

[perfectstrong]

Tìm tất cả các hàm f :$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $2f(x)=f(x^{2})$ với x là số thực 

Tổng quát hóa lên thành $nf(x)=f(x^{n})$

 

Nếu đề bài cho thêm dữ kiện $f$ liên tục thì có thể chứng minh $f \equiv 0$. Còn không thì có ít nhất thêm 2 hàm thỏa đề:

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
0 \text{ nếu } x = 0\\
\ln \left| x \right| \text{ nếu } x \ne 0
\end{array} \right.\]

\[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
0 \text{ nếu } x = 0\\
- \ln \left| x \right| \text{ nếu } x \ne 0
\end{array} \right.\]