Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{x^2}{z(z^2+x^2)} \geq 3/2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Giabao209

Giabao209

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết

cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 3$ Chứng minh rằng:

$\sum \frac{x^2}{z(z^2+x^2)} \geq 3/2$



#2
nguyenhuybao06

nguyenhuybao06

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 74 Bài viết
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $$\frac{x^2}{z(z^2+x^2)}=\frac{1}{z}\cdot\frac{x^2}{z^2+x^2}=\frac{1}{z}\left(1-\frac{z^2}{z^2+x^2} \right)\geq\frac{1}{z}\left(1-\frac{z^2}{2zx} \right)=\frac{1}{z}-\frac{1}{2x} $$
Do đó $$\sum\frac{x^2}{z(z^2+x^2)}\geq\sum\frac{1}{z}-\sum\frac{1}{2x}=\sum\frac{1}{2x}=\frac{3}{2}$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh