Cho $\Delta ABC$, $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\Delta ABC$. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $(AEF)$ cắt $BC$ tại $P,Q$. Gọi $M$ là trung điểm $AD$. Chứng minh $(I_a)$ tiếp xúc với $(MPQ)$
Trong tam giác ABC, gọi (Ia) là đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác, tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F. ,... Chúng minh rằng (Ia) tiếp xúc (MPQ)
Bắt đầu bởi Sangnguyen3, 24-09-2023 - 10:58
Lời giải hovutenha, 24-09-2023 - 19:43
Gọi $AD$ cắt lại $(Ia)$ tại $N$, $R$ là trung điểm $DN$, tiếp tuyến tại $N$ của $(Ia)$ cắt $BC$ tại $T$.
Dễ thấy $R$ thuộc $(AEF)$ do $IaR$ vuông góc với $AR$
Do đó ta có: $\overline{DP}.\overline{DQ}=\overline{DA}.\overline{DR}=\overline{DM}.\overline{DN}$
Suy ra $4$ điểm $M, N, P, Q$ đồng viên.
Lại có $TN^{2}=\overline{TR} . \overline{TI_{a}}=\overline{TQ}.\overline{TP}$ nên $TN$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $MPQ$
Suy ra $(Ia)$ tiếp xúc $(MPQ)$.
Đi đến bài viết »
#2
Đã gửi 24-09-2023 - 19:43
hovutenha
-
- Thành viên
-
- 88 Bài viết
Hạ sĩ
✓ Lời giải
Gọi $AD$ cắt lại $(Ia)$ tại $N$, $R$ là trung điểm $DN$, tiếp tuyến tại $N$ của $(Ia)$ cắt $BC$ tại $T$.
Dễ thấy $R$ thuộc $(AEF)$ do $IaR$ vuông góc với $AR$
Do đó ta có: $\overline{DP}.\overline{DQ}=\overline{DA}.\overline{DR}=\overline{DM}.\overline{DN}$
Suy ra $4$ điểm $M, N, P, Q$ đồng viên.
Lại có $TN^{2}=\overline{TR} . \overline{TI_{a}}=\overline{TQ}.\overline{TP}$ nên $TN$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $MPQ$
Suy ra $(Ia)$ tiếp xúc $(MPQ)$.
- perfectstrong, Sangnguyen3 và Moon Loves Math thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
