Chủ đề này có 3 trả lời

[Sangnguyen3]

1 bổ đề khá hay trong lúc mình làm toán : $\Delta ABC$ có tâm nội tiếp $I$, trực tâm $H$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $AH$ cắt $EF$ tại $J$. $M$ là trung điểm $BC$ .Chứng minh $IJ//MH$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sangnguyen3: 25-09-2023 - 18:43

[huytran08]

1 bổ đề khá hay trong lúc mình làm toán : $\Delta ABC$ có tâm nội tiếp $I$, trực tâm $H$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $AH$ cắt $EF$ tại $J$. Chứng minh $IJ//MH$

Where is M?

[Sangnguyen3]

Where is M?

M là trđ BC, mình sửa lại r

[hovutenha]

Mình sẽ chứng minh tổng quát bài toán. Cho tam giác $ABC$, $H$ và $M$ lần lượt là trực tâm và trung điểm $BC$. Một điểm $I$ chuyển động trên phân giác góc $A$, $IE,IF$ là chân đường vuông góc từ $I$ xuống $AC,AB$. $EF$ cắt $AH$ tại $J$, Khi đó $IJ$ song song $HM$.

Chứng minh:

Nhận xét: Khi $I$ chuyển động thì $IJ$ song song với 1 đường thẳng cố định.

Nhận xét này hiển nhiên nhưng rất quan trọng.

Dùng nhận xét trên thì ta có thể cho $I$ trùng $1$ điểm đặc biệt rồi chứng minh $IJ$ song song $HM$. Để ý ở đây có các đường vuông góc xuống $2$ cạnh tam giác nên ta nghĩ đến đường thẳng $simson$. Ta sẽ cho $I$ trùng điểm chính giữa cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(ABC)$. 

Khi này ta có $IM//HJ$ và trung điểm $IH$ thuộc $EF$, 

Như vậy dễ có $IJHM$ là hình bình hành. Suy ra $IJ//HM$. 

Ta có bài toán tổng quát. Nhờ bài toán tổng quát trên, ta cho điểm $I$ trùng tâm nội tiếp, ta sẽ thu được bài toán ban đầu.