Chủ đề này có 2 trả lời

[Explorer]

Cho $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Biết $2a+3b+6c=0$. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0,1)

[Thegooobs]

Cho $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Biết $2a+3b+6c=0$. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0,1)

Bài này có nhiều cách giải có thể giải theo định lí giá trị trung gian bằng các xét các giá trị $f(0)$ với một giá trị nào đó khác rồi nhân lại.

Mình sẽ giải theo định lí Rolle (có gì sai sót hay chưa đúng mong được anh chị sửa chữa)

Giải
Đầu tiên phương trình $f(x)=0$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên có thể lấy hàm $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$

Lấy một hàm số có đạo hàm là $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ tức là lấy một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$

Nên chọn $F(x)=\dfrac{1}{3}ax^3+\dfrac{1}{2}bx^2+cx+d$ xác định trên $\mathbb{R}$

Ta có: $F(0)=d$

$F(1)=\dfrac{1}{3}a+\dfrac{1}{2}b+c+d$
Vì $2a+3b+6c=0$ nên ta có $c=-\dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{2}b$ $\Rightarrow$ $F(1)=\dfrac{1}{3}a+\dfrac{1}{2}b-\dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{2}b+d=F(0)$

Vì $F(x)$ liên tục trên đoạn [0,1] và có đạo hàm trên (0,1) và $F(0)=F(1)$ nên áp dụng định lí Rolle:

$\Rightarrow F'(x)=0$ có nghiệm trên khoảng $(0,1)$

hay $f(x)=0$ có nghiệm trên khoảng $(0,1)$ (đpcm) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 02-10-2023 - 14:32

[Konstante]

Ta sẽ tìm hai điểm $x_1$ và $x_2$ thuộc $]0,1[$ sao cho $f(x_1) + f(x_2) = a(x_1^2 + x_2^2) + b(x_1 + x_2) + 2c = 0$, khi đó vì $f$ liên tục nên chắc chắn có nghiệm trong $[x_1,x_2]$, tức là trong $]0,1[$.

 

Sử dụng điều kiện $2a + 3b + 6c = 0$, ta đi tìm nghiệm của hệ $$\begin{align*}x_1^2 + x_2^2 &= \frac{2}{3} \\ x_1 + x_2 &= 1\end{align*}$$Dễ dàng tính được $x_{1,2} = \frac{\sqrt{3} \pm 1}{2\sqrt{3}}$, do vậy $f$ chắc chắn có nghiệm trong $[\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{3}}] \subset ]0,1[$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 02-10-2023 - 15:43