Cho $a,b,c>0 thoả \frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{b+c+1} + \frac{1}{c+a+1}=1$. Chứng minh:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge a+b+c$
#2
Đã gửi 27-09-2023 - 20:10
nhungvienkimcuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 678 Bài viết
Thiếu úy
Cho $a,b,c>0 thoả \frac{1}{a+b+1} + \frac{1}{b+c+1} + \frac{1}{c+a+1}=1$. Chứng minh:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge a+b+c$
Ta có
\[1=\sum\frac{1}{a+b+1}=\sum\frac{a+b+c^2}{(a+b+1)(a+b+c^2)}\le \sum\frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)}{(a+b+c)^2}.\]
Suy ra $a+b+c\ge ab+bc+ca$, do vậy
\[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}\ge a+b+c.\]
- ThienDuc1101, Le Binh Minh và Princess3107 thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh 
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
