Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: \[(\frac{1+ix}{1-ix})^m=z\] chỉ có các nghiệm thực

- - - - - giải tích

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Thanh Lam 1514

Thanh Lam 1514

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Cho số tự nhiên m>1 và số phức z có môddun bằng 1. Chứng minh rằng: \[(\frac{1+ix}{1-ix})^m=z\] chỉ có các nghiệm thực



#2
literallyme

literallyme

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Mình chứng minh như sau.

 

Vì $\left\vert z\right\vert = 1$ nên $\left\vert{\left(\frac{1+\imath x}{1 - \imath x}\right)}^{m}\right\vert = 1$, kéo theo $\left\vert \frac{1 + \imath x}{1 - \imath x} \right\vert = 1$.

 

Đặt $x = a + b\imath$, trong đó, $a$ và $b$ là các số thực.

\[\left\vert\frac{1 + \imath x}{1 - \imath x}\right\vert = \left\vert\frac{(1 - b) + \imath a}{(1 + b) - \imath a} \right\vert = \sqrt{\frac{{(1-b)}^{2} + a^{2}}{{(1+b)}^{2} + a^{2}}}\]

 

Vì $\left\vert \frac{1 + \imath x}{1 - \imath x} \right\vert = 1$ nên ${(1-b)}^{2} + a^{2} = {(1+b)}^{2} + a^{2}$. Đẳng thức cuối cùng tương đương với $b = 0$, tức là $x$ là số thực.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giải tích

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh