Cho số tự nhiên m>1 và số phức z có môddun bằng 1. Chứng minh rằng: \[(\frac{1+ix}{1-ix})^m=z\] chỉ có các nghiệm thực
Chứng minh rằng: \[(\frac{1+ix}{1-ix})^m=z\] chỉ có các nghiệm thực
#1
Đã gửi 30-09-2023 - 11:27
#2
Đã gửi 30-09-2023 - 22:53
Mình chứng minh như sau.
Vì $\left\vert z\right\vert = 1$ nên $\left\vert{\left(\frac{1+\imath x}{1 - \imath x}\right)}^{m}\right\vert = 1$, kéo theo $\left\vert \frac{1 + \imath x}{1 - \imath x} \right\vert = 1$.
Đặt $x = a + b\imath$, trong đó, $a$ và $b$ là các số thực.
\[\left\vert\frac{1 + \imath x}{1 - \imath x}\right\vert = \left\vert\frac{(1 - b) + \imath a}{(1 + b) - \imath a} \right\vert = \sqrt{\frac{{(1-b)}^{2} + a^{2}}{{(1+b)}^{2} + a^{2}}}\]
Vì $\left\vert \frac{1 + \imath x}{1 - \imath x} \right\vert = 1$ nên ${(1-b)}^{2} + a^{2} = {(1+b)}^{2} + a^{2}$. Đẳng thức cuối cùng tương đương với $b = 0$, tức là $x$ là số thực.
- perfectstrong và Thanh Lam 1514 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: giải tích
Toán Đại cương →
Giải tích →
$\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt[3]{x.(e^{x^3}-e^{-x^3})}}$Bắt đầu bởi Lyua My, 27-01-2024 giải tích, tích phân |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Cho $x = r\cos(a)$ và $y = r\sin(a)$. Chứng minh $dx.dy = rdr.da$Bắt đầu bởi Explorer, 11-01-2024 giải tích, hệ tọa độ cực, hàm số và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
$\int \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}\frac{{\mathrm{d} x}}{x+1}$Bắt đầu bởi Thanh Lam 1514, 25-12-2023 giải tích, nguyên hàm |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
Tài liệu và chuyên đề Giải tích →
$\int_{0}^{1}(f'(x))^{2}=\int_{0}^{1}(x+1)e^{x}f(x)dx=\frac{e^{2}-1}{4}$Bắt đầu bởi Explorer, 01-12-2023 giải tích, hàm số, đạo hàm và . |
|
|||
Toán Đại cương →
Giải tích →
CMR hàm số f(x) đơn điệu thì có hữu hạn điểm gián đoạn.Bắt đầu bởi Explorer, 29-11-2023 giới hạn, điểm gián đoạn và . |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh