Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\geq a+b+c$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 JohnTerry

JohnTerry

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Tất Thành
  • Sở thích:Rap

Đã gửi 12-01-2021 - 18:21

Cho $3$ số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn$a^2+b^2+c^2=3$

CMR $\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\geq a+b+c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 12-01-2021 - 18:59


#2 Chinh Minh

Chinh Minh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:mathematics

Đã gửi 12-01-2021 - 22:55

Các bổ đề cần sử dụng 

$3(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\leq (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

$(a+b+c)^{2}\leq 3(a^2+b^2+c^2)$

Ta có

$\sum \frac{2a^{2}}{a+b^{2}}=\sum 2a-\sum \frac{2ab^{2}}{a+b^{2}}\geq \sum 2a-(\sum a\sqrt{b})$

Áp dụng bổ đề thì $3(\sum a\sqrt{b})\leq (a+b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq (a+b+c)\sqrt{3(a+b+c)}$

Đặt $t=a+b+c$ biến đổi tương đương bđt 

cuối cùng ta được $t\leq 3$ đúng

 

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh