Chủ đề này có 4 trả lời

[Mr handsome ugly]

Dự đoán: chứng minh với mọi đa thức P(x) có bậc là số nguyên dương và P(x)=0 vô nghiệm trên tập số thực thì ta sẽ luôn suy ra được 1 trong  2 trường hợp:

• P(x)>0 với mọi x là số thực 
• P(x)<0 với mọi x là số thực 

[chanhquocnghiem]

 

Dự đoán: chứng minh với mọi đa thức P(x) có bậc là số nguyên dương và P(x)=0 vô nghiệm trên tập số thực thì ta sẽ luôn suy ra được 1 trong  2 trường hợp:

• P(x)>0 với mọi x là số thực 
• P(x)<0 với mọi x là số thực 

 

Chứng minh cái này dễ thôi :

Hàm số $y=P(x)$ (hàm đa thức) là hàm liên tục nên đồ thị của nó là một đường liên tục (liền nét, không bị gián đoạn). Hơn nữa phương trình $P(x)=0$ không có nghiệm thực suy ra đường liên tục đó không có điểm chung với trục hoành. Vậy chỉ có $2$ khả năng :

1/ đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

2/ đồ thị nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành.
 

[perfectstrong]

Thay đa thức $P(x)$ bằng một hàm $f(x)$ liên tục và có giá trị tuyệt đối không bị chặn ($|f(x)| \rightarrow + \infty$) thì kết luận vẫn đúng.

[Mr handsome ugly]

Thay đa thức $P(x)$ bằng một hàm $f(x)$ liên tục và có giá trị tuyệt đối không bị chặn ($|f(x)| \rightarrow + \infty$) thì kết luận vẫn đúng.

Theo em nghĩ thì không cần dữ kiện giá trị tuyệt đối không bị chặn ($|f(x)| \rightarrow + \infty$) kết luận vẫn đúng vì chỉ cần chúng là hàm liên tục nhưng không cắt trục hoành thì vẫn suy ra được 1 trong 2 trường hợp 

P/S: Các anh chứng minh giúp em hàm đa thức liên tục được không ạ ( em học dở       )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr handsome ugly: 15-01-2021 - 18:35

[perfectstrong]

Cái điều kiện "không cắt trục hoành" thực ra là một diễn giải hình học của $f(x) \ne 0 \forall x$. Vậy nên nếu $f$ liên tục thì mệnh đề em đưa ra sẽ luôn đúng, nếu không thì sẽ trái với định lý giá trị trung bình Cauchy.

 

Chứng minh đa thức liên tục: đa thức là tổng các đơn thức $a_nx^n$, mà bản thân mỗi đơn thức là một hàm liên tục, thì tổng các hàm liên tục cũng sẽ là hàm liên tục.