Đến nội dung

Hình ảnh

$2^m + 1$ chia hết cho $2^n + 1$ thì m chia hết cho n


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Duchuyvu228

Duchuyvu228

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Bài 1. Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên $m, n$ thỏa mãn $2^m + 1$ chia hết cho $2^n + 1$ thì m chia hết cho n.

Bài 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $25x^2y^2 + 10x^2y +25xy^2 + 30xy + x^2 + 2y^2 + 5x + 7y + 6 = 0$

Bài 3: Xét các số thực dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = a^5 + b^5 + c^5 + d^5$. CMR: a = b = c = d.

 

 



#2
Le Binh Minh

Le Binh Minh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Bài 1:

Dễ thấy $m\geq n$ 

TH1: m=n thì ta có đpcm

TH2: m>n

Đặt $m=kn+r (k,r\in \mathbb{N}, 0\leq r< n, k>0)$

Từ đó ta có $2^{n}+1|(2^{n})^{k}2^{r}+1$

*k lẻ 

$2^{n}+1|(2^{n})^{k}2^{r}+1 \Leftrightarrow 2^{n}+1|[(2^{n})^{k}+1]2^{r}-2^{r} +1\Leftrightarrow 2^{n}+1|-2^{r} +1$

Mà r<n nên r=0 suy ra đpcm

*k chẵn

Đặt $k=2^{\alpha }t (\alpha,t\in \mathbb{N}; \alpha ,t>o, t)$ và t lẻ

khi đó ta có $2^{n}+1|(2^{n})^{k}2^{r}+1 \Leftrightarrow 2^{n}+1|[(2^{n})^{k}-1]2^r +2^r+1$

Dễ thấy phép trừ trong ngoặc vuông nếu ta áp dụng hằng đẳng thức $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ liên tục $\alpha$ lần thì sẽ xuất hiện thừa số $(2^{n})^{t}+1$ mà t lẻ nên từ đó suy ra phần trong ngoặc vuông chia hết cho $2^{n}+1$ suy ra $2^{r} +1$ chia hết cho $2^{n}+1$ suy ra $r\geq n$ (Mâu thuẫn)

Vậy ta có đpcm



#3
duong966123

duong966123

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

bài 3 thì lấy vế a^5 trừ cho vế a^4 rồi lấy vế a^4 trừ cho vế a^3 xong thì lấy 2 kết quả lần lượt trừ cho nhau bằng 0 lúc đó sẽ ra được kết quả a=b=c=d=(0 hoặc bằng 1) mà số thực dương thì ko có số 0 đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong966123: 10-10-2023 - 19:17


#4
Konstante

Konstante

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

Cách khác cho bài 1.

 

Với $a > b$ thì $$\begin{align*}x^a+1 &= (x^b+1)x^{a-b} - (x^{a-b}-1)\\x^a-1 &= (x^b+1)x^{a-b} - (x^{a-b}+1)\end{align*}$$ nên $$\begin{align*}x^b+1 \mid x^a+1 &\iff x^{b} + 1 \mid x^{a-b} - 1 \\ x^b+1 \mid x^a-1 &\iff x^{b} + 1 \mid x^{a-b} + 1\end{align*}$$

 

Do vậy, nếu $x^b+1 \mid x^a+1$ thì $$x^b+1 \mid x^{a \bmod b} + 1$$ hoặc là $$x^b+1 \mid x^{a \bmod b} - 1$$ mà điều này chỉ xảy ra nếu $a \bmod b = 0$, tức là $b \mid a$.

 

Chú ý rằng chiều ngược lại không đúng, ví dụ $2 \mid 4$ nhưng $2^2+1 = 5 \not\mid 17 = 2^4+1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 10-10-2023 - 16:19





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh