Bài 1:
Dễ thấy $m\geq n$
TH1: m=n thì ta có đpcm
TH2: m>n
Đặt $m=kn+r (k,r\in \mathbb{N}, 0\leq r< n, k>0)$
Từ đó ta có $2^{n}+1|(2^{n})^{k}2^{r}+1$
*k lẻ
$2^{n}+1|(2^{n})^{k}2^{r}+1 \Leftrightarrow 2^{n}+1|[(2^{n})^{k}+1]2^{r}-2^{r} +1\Leftrightarrow 2^{n}+1|-2^{r} +1$
Mà r<n nên r=0 suy ra đpcm
*k chẵn
Đặt $k=2^{\alpha }t (\alpha,t\in \mathbb{N}; \alpha ,t>o, t)$ và t lẻ
khi đó ta có $2^{n}+1|(2^{n})^{k}2^{r}+1 \Leftrightarrow 2^{n}+1|[(2^{n})^{k}-1]2^r +2^r+1$
Dễ thấy phép trừ trong ngoặc vuông nếu ta áp dụng hằng đẳng thức $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ liên tục $\alpha$ lần thì sẽ xuất hiện thừa số $(2^{n})^{t}+1$ mà t lẻ nên từ đó suy ra phần trong ngoặc vuông chia hết cho $2^{n}+1$ suy ra $2^{r} +1$ chia hết cho $2^{n}+1$ suy ra $r\geq n$ (Mâu thuẫn)
Vậy ta có đpcm