Chủ đề này có 3 trả lời

[Tran Hoai Nghia]

Cho $S= 1+2+3+...+2003$. Mỗi lần xóa đi 2 số hạng bất kì ta thay bằng hiệu của chúng ( ví dụ xóa 1+2 thì thay vào 1-2).Hỏi có thể làm cách nào để được $S=0$? Nếu có, viết ra $S$.

Edit: Bài này có thể giải được đấy, thay vì 1 đề bài dễ hơn là: Chứng minh dù có thay tổng hai số hạng bất kì bằng hiệu 2 số hạng đó bao nhiêu lần đi nữa ( ví dụ 1+2 thay bằng 1-2 hoặc 1+100 thay bằng 1-100) thì $S$ không thể bằng 0.Với $S= 1+2+3+...+2005$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 19-01-2021 - 00:12

[Tran Hoai Nghia]

Giải

Chúng ta phân hoạch tổng S đã cho ra thành 2 phần:
- Tổng của các số chẳn: $A=2+4+6+...+2002=2(1+2+3+...+1001)=\frac{2.1001.1002}{2}=1001.1002$
- Tổng của các số lẻ: $B= 1+3+5+...+2003= S-A= 2003.1002-1001.1002=1002.1002$
Ta có $B-A= 1002$.
- Nếu đổi dấu bất kì 1 số hạng dương bất kì của tổng S ban đầu ( cũng tương tự như đổi tổng thành hiệu của 2 số hạng bất kì theo như đề bài) thì ta có số mới nhỏ hơn số ban đầu bằng đúng 2 lần số bị đổi dấu, thật vậy:
$a+b-(a-b)=2b$
- Ta có 501.2=1002, vậy ta cần đổi dấu số 501 trong B thành -501 để S=0, thật vậy:
$B-A= 1002$
$\Leftrightarrow (1+3+...+501+...+2003)-(2+4+...+2002)-2.501=0\\ \Leftrightarrow (1+3+...-501+...+2003)-(2+4+...+2002)=0$
Viết lại:
$S=1-2+3-4+...-501-502+...-2002+2003$
Có nghĩa là đặt dấu trừ trước tất cả các số chẵn và số 501, các số lẻ còn lại giữ nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 11-02-2021 - 01:36

[Tran Hoai Nghia]

Mở rộng: Chứng minh rằng với tổng các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 ( có n số hạng) và tổng đó chia hết cho 4 thì luôn luôn có thể đặt dấu trừ trước $\frac{n}{2}+1$ hoặc $(\frac{n+1}{2}+1)$ số để biến tổng mới bằng 0.
Lưu ý: khi đã đặt dấu trừ trước số nào rồi thì sẽ không thể đổi dấu số đó lại nữa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 12-02-2021 - 17:35

[Tran Hoai Nghia]

Xét dãy số đơn giản sau đây: $S=1+2+3+4+5+6+7+8$ như đã biết, nếu chọn cách quy hoạch chẵn lẻ như trên thì ta có được cách sắp xếp sau: 
$S=-1-2-3+4-5+6-7+8$
Liệu còn cách đổi dấu nào khác không?Hoặc nói cho văn vẻ là còn cách quy hoạch nào khác để S=0 không?
Câu trả lời là vẫn có, để ý $\left\{\begin{matrix} 1+8=2+7\\3+6=4+5 \end{matrix}\right.$Và chúng ta có thêm 3 lựa chọn đổi dấu
, tất cả là 
$\begin{pmatrix} S=-1-2+3+4+5+6-7-8 \\ S=1-2+3-4-5+6-7+8 \\S=1-2-3+4+5-6-7+8 \end{pmatrix}$
Và đổi dấu từng trường hợp, lại thêm 3 trường hợp nữa, tất cả là 6 trường hợp với cách quy hoạch trên.Và cộng với cách quy hoạch chẵn lẻ từ đầu, ta có 6+2=8 cách đặt dấu trừ để biến S=0.
Rõ ràng, với cách quy hoạch 2 phần đầu-cuối như thế này, thì 2 phần phải bằng nhau, xét dãy đơn giản trên thì hai phần phải bằng 18!!!!
Vậy chúng ta tự hỏi, nếu tổng quát hóa lên, liệu có thể tính được có bao nhiêu cách đặt dấu trừ theo 2 hướng quy hoạch chẵn lẻ và quy hoạch 2 phần đầu-cuối ( chúng ta tạm gọi cách quy hoạch trên là quy hoạch 2 phần đầu - cuối, nếu có thể, xin mời các bạn đặt cái tên hay hơn!!!).Chúng ta có thể mạo hiểm đặt ra bài toán:

Cho dãy số $S=1+2+3+...+n$ ( tổng n số hạng bắt đầu từ 1).Ta có trò chơi đặt dấu trừ cho bất kì số hạng nào để biến $S=0$, với điều kiện số hạng nào đã được đặt dấu trừ thì không thể đổi lại nữa, chỉ được đổi những số hạng chưa đặt dấu trừ.Có 2 cách chơi bắt buộc, một là đổi dấu tất cả các số hạng chẵn hoặc lẻ và cuối cùng chỉ được đổi dấu thêm một số hạng nào đó; hai là đổi dấu các cặp số đầu - cuối sao cho được tổng $S=0$ ( ví dụ xét dãy S=1+2+3+4, dễ thấy 1+4=2+3 thì có thể đổi dấu số 1 và số 4 hoặc số 2 và số 3).Hỏi có tất cả bao nhiêu cách để thực hiện trò chơi?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 22-02-2021 - 22:19