1 reply to this topic

[Seren]

Cho hàm số y = $x^{3}-3x^{2}+(3-2m)x+1+2m$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1},x_{2},x_{3}$ thỏa mãn $x_{1} < 1 < x_{2} < 2< x_{3}$.

 

[vo van duc]

Cho hàm số y = $x^{3}-3x^{2}+(3-2m)x+1+2m$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1},x_{2},x_{3}$ thỏa mãn $x_{1} < 1 < x_{2} < 2< x_{3}$.

 

Trước tiên, tôi phải nhắc em Seren về cách diễn đạt bài toán. Toán cần sự chính xác, logic. Bài viết em đưa ra ở đây không phải là một đề bài, xét về ngữ pháp, nó chỉ là một giả thiết.

 

Đây là bài toán không quá lạ lẫm nên tôi hiểu đề bài như thế này:

"Cho hàm số $y=x^3-3x^2+(3-2m)x+1+2m$, với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_1$, $x_2$, $x_3$ sao cho $x_1<1<x_2<2<x_3$."

và gợi ý cho em về cách giải.

 

Bài toán có thể tách ra làm 2 vấn đề cần được giải tuần tự:

1. Tìm tham số $m$ để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm $x_1$, $x_2$, $x_3$.

2. Tìm $m$ sao cho $x_1<1<x_2<2<x_3$.

 

Bước giải 1: Với bài toán tìm tham số $m$ để đồ thị hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có 2 hướng đi:

 

Hướng 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm $y=0$.

 

Hướng này được dùng khi chúng ta biết trước một nghiệm (dùng các dấu hiệu như "Tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình có nghiệm $x=1$"...) rồi dùng định lý Bezout để biến đổi thành phương trình tích (1 phương trình bậc một, 1 phương trình bậc hai).

 

Ở bài toán này, ta không nhẩm được nghiệm nào nên bỏ qua hướng đi này.

 

Hướng 2: Dùng kết quả "Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ hàm số có 2 điểm cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau".

 

Bước giải 2: Tìm $m$ sao cho $x_1<1<x_2<2<x_3$.

 

Ta phát thảo đồ thị hàm số thoả các yêu cầu của đề bài để tìm điều kiện ràng buộc.

 

Theo đó, ta có thể thấy điều kiện là $\left\{\begin{matrix} y(1)>0\\y(2)<0\end{matrix}\right.$

............................................................................

Như vậy, hệ điều kiện cuối cùng (cho cả 2 bước giải) là $\left\{\begin{matrix} y'=0\;\text{có 2 nghiệm phân biệt}\\y(1)>0\\y(2)<0 \end{matrix}\right.$

Tất nhiên, khi trình bày lời giải phải có hình vẽ minh hoạ để ra hệ điều kiện như trên.

Edited by vo van duc, 07-10-2023 - 10:04.