1 reply to this topic

[quack quack]

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ a& b & c\\ bc& ac &ab \end{bmatrix}$

tìm $A^{-1}$ bằng phương pháp định thức của ma trận trên

[vo van duc]

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ a& b & c\\ bc& ac &ab \end{bmatrix}$

tìm $A^{-1}$ bằng phương pháp định thức của ma trận trên

 

Ta có:

$$\det A=\left | \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ bc & ac & ab \end{matrix} \right |=\left | \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ a & b-a & c-a\\ bc & c(a-b) & b(a-c) \end{matrix} \right |=\left | \begin{matrix} b-a & c-a\\ -c(b-a) & -b(c-a) \end{matrix} \right |=(b-a)(c-a)\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ -c & -b \end{matrix} \right |=(b-a)(c-a)(c-b)$$

$A$ khả nghịch $\Leftrightarrow \det A\neq 0 \Leftrightarrow a\neq b\neq c$.

 

Khi đó, ta có:

$$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}.\left [ \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & A_{31}\\ A_{12} & A_{22} & A_{32}\\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{matrix} \right ]$$

Trong đó:

$A_{11}=(-1)^{1+1}\left | \begin{matrix} b & c\\ ac & ab \end{matrix} \right |=a(b^2-c^2)$

 

$A_{12}=(-1)^{1+2}\left | \begin{matrix} a & c\\ bc & ab \end{matrix} \right |=b(c^2-a^2)$

 

$A_{13}=(-1)^{1+3}\left | \begin{matrix} a & b\\ bc & ac \end{matrix} \right |=c(a^2-b^2)$

 

$A_{21}=(-1)^{2+1}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ ac & ab \end{matrix} \right |=a(c-b)$

 

$A_{22}=(-1)^{2+2}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ bc & ab \end{matrix} \right |=b(a-c)$

 

$A_{23}=(-1)^{2+3}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ bc & ac \end{matrix} \right |=c(b-a)$

 

$A_{31}=(-1)^{3+1}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ b & c \end{matrix} \right |=c-b$

 

$A_{32}=(-1)^{3+2}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ a & c \end{matrix} \right |=a-c$

 

$A_{33}=(-1)^{3+3}\left | \begin{matrix} 1 & 1\\ a & b \end{matrix} \right |=b-c$

 

Suy ra:

$$A^{-1}=\frac{1}{(b-a)(c-a)(c-b)}\left [ \begin{matrix} a(b^2-c^2) & a(c-b) & c-b\\ b(c^2-a^2) & b(a-c) & a-c\\ c(a^2-b^2) & c(b-a) & b-a \end{matrix} \right ]$$

......................................................

Với bài toán này ta chỉ cần áp dụng theo quy tắc tính thôi nên không khó. Tuy nhiên, khối lượng phép tính khá lớn nên tôi tính có thể sẽ sai sót. Bạn nhớ kiểm tra lại cho kỹ càng.

Edited by vo van duc, 10-10-2023 - 22:49.