Đến nội dung

Hình ảnh

GTNN của $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$


Lời giải nhungvienkimcuong, 09-10-2023 - 22:26

Tìm GTNN của A biết $a,b,c \ge 0: a+b+c \le 3$ và $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$

Dấu bằng xảy ra khi một biến bằng $0$ và hai biến còn lại bằng nhau, ta sẽ chứng minh

\[ \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\ge\frac{10}{(a+b+c)^2}.\]

Ý tưởng bài này là giả sử $c=\min(a,b,c)$, khi đó

\[a^2+b^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2+\left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad b^2+c^2\le \left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad c^2+a^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2.\]

Phần còn lại chỉ cần chứng minh $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge \frac{10}{(x+y)^2}$ với $x=a+\frac{c}{2}$ và $y=b+\frac{c}{2}$. Bài toán hai biến này thì không quá khó, bạn tự giải quyết nhé.

 

 

Ghi chú. Một số bài toán hoàn toàn tương tự, tham khảo ở đâyđây.

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Hahahahahahahaha

Hahahahahahahaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

Tìm GTNN của A biết $a,b,c \ge 0: a+b+c \le 3$ và $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-10-2023 - 17:11
Tiêu đề & LaTeX

Nhà văn Ngô Tất Tố từng hỏi nhà thơ Lưu Trọng Lư rằng: "Huy Cận là thằng cha nào mà làm bài thơ hay thế?"

:oto:   :botay  :botay  :botay  :oto:


#2
duong966123

duong966123

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 13 Bài viết

 Bất đẳng thức BCS dạng cộng mẫu: (Cauchy-Swarchz) dùng cái này ra rồi rút gọn rồi lấy 1 chia cho cả hai vế rút gọn xong tìm A ra GTNN là 3/2 (tôi cx không bt đúng hay sai nếu sai mong mọi người giúp đỡ)



#3
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 675 Bài viết
✓  Lời giải

Tìm GTNN của A biết $a,b,c \ge 0: a+b+c \le 3$ và $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$

Dấu bằng xảy ra khi một biến bằng $0$ và hai biến còn lại bằng nhau, ta sẽ chứng minh

\[ \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\ge\frac{10}{(a+b+c)^2}.\]

Ý tưởng bài này là giả sử $c=\min(a,b,c)$, khi đó

\[a^2+b^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2+\left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad b^2+c^2\le \left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad c^2+a^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2.\]

Phần còn lại chỉ cần chứng minh $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge \frac{10}{(x+y)^2}$ với $x=a+\frac{c}{2}$ và $y=b+\frac{c}{2}$. Bài toán hai biến này thì không quá khó, bạn tự giải quyết nhé.

 

 

Ghi chú. Một số bài toán hoàn toàn tương tự, tham khảo ở đâyđây.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 09-10-2023 - 22:28

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#4
Hahahahahahahaha

Hahahahahahahaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

hay


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 10-10-2023 - 15:30

Nhà văn Ngô Tất Tố từng hỏi nhà thơ Lưu Trọng Lư rằng: "Huy Cận là thằng cha nào mà làm bài thơ hay thế?"

:oto:   :botay  :botay  :botay  :oto:


#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

bài này tui làm vậy dc ko: a,b,c là các số thực không âm thỏa a+b+c<= 3, vai trò a,b,c như nhau nên giả sử 0<a,b,c<=1

do đó: a^+b^<=a+b<=2 suy ra 1/a^+b^>=1/2 tương tự A>=3/2. dấu = khi và chỉ khi a=b=c=1

$a=2,b=1,c=0$ thì sao bạn?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Tìm cách khác, chưa ra, tuy vậy mình có được bất đẳng thức khá hay dưới đây. 

 

Với điều kiện $a \geq b \geq c \geq 0 $ ta có $$\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2} \geq \frac{1}{ \left(\frac{a+b}{2} \right)^2+c^2}.$$

Bất đẳng thức trên đúng vì tương đương với $$ (a-b)^2\left[ \frac{(a+b)^2+2ab-2c^2}{4}\right] \geq 0$$ Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 18-10-2023 - 13:06

"Hap$\pi$ness is only real when shared."




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh