Tìm GTNN của A biết $a,b,c \ge 0: a+b+c \le 3$ và $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-10-2023 - 17:11
Tiêu đề & LaTeX
GTNN của $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$
Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 09-10-2023 - 15:12
Lời giải nhungvienkimcuong, 09-10-2023 - 22:26
Tìm GTNN của A biết $a,b,c \ge 0: a+b+c \le 3$ và $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$
Dấu bằng xảy ra khi một biến bằng $0$ và hai biến còn lại bằng nhau, ta sẽ chứng minh
\[ \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\ge\frac{10}{(a+b+c)^2}.\]
Ý tưởng bài này là giả sử $c=\min(a,b,c)$, khi đó
\[a^2+b^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2+\left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad b^2+c^2\le \left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad c^2+a^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2.\]
Phần còn lại chỉ cần chứng minh $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge \frac{10}{(x+y)^2}$ với $x=a+\frac{c}{2}$ và $y=b+\frac{c}{2}$. Bài toán hai biến này thì không quá khó, bạn tự giải quyết nhé.
Ghi chú. Một số bài toán hoàn toàn tương tự, tham khảo ở đây và đây.
Đi đến bài viết »
#1
Đã gửi 09-10-2023 - 15:12
Hahahahahahahaha
-
- Thành viên
-
- 104 Bài viết
Trung sĩ
- HaiDangPham yêu thích
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
#2
Đã gửi 09-10-2023 - 21:33
duong966123
-
- Thành viên mới
-
- 17 Bài viết
Binh nhì
Bất đẳng thức BCS dạng cộng mẫu: (Cauchy-Swarchz) dùng cái này ra rồi rút gọn rồi lấy 1 chia cho cả hai vế rút gọn xong tìm A ra GTNN là 3/2 (tôi cx không bt đúng hay sai nếu sai mong mọi người giúp đỡ)
#3
Đã gửi 09-10-2023 - 22:26
nhungvienkimcuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 675 Bài viết
Thiếu úy
✓ Lời giải
Tìm GTNN của A biết $a,b,c \ge 0: a+b+c \le 3$ và $A= \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}$
Dấu bằng xảy ra khi một biến bằng $0$ và hai biến còn lại bằng nhau, ta sẽ chứng minh
\[ \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\ge\frac{10}{(a+b+c)^2}.\]
Ý tưởng bài này là giả sử $c=\min(a,b,c)$, khi đó
\[a^2+b^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2+\left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad b^2+c^2\le \left(b+\frac{c}{2}\right)^2,\quad c^2+a^2\le \left(a+\frac{c}{2}\right)^2.\]
Phần còn lại chỉ cần chứng minh $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2}\ge \frac{10}{(x+y)^2}$ với $x=a+\frac{c}{2}$ và $y=b+\frac{c}{2}$. Bài toán hai biến này thì không quá khó, bạn tự giải quyết nhé.
Ghi chú. Một số bài toán hoàn toàn tương tự, tham khảo ở đây và đây.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 09-10-2023 - 22:28
- Moon Loves Math, dinhvu, HaiDangPham và 2 người khác yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em 
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh 
#4
Đã gửi 10-10-2023 - 14:58
Hahahahahahahaha
-
- Thành viên
-
- 104 Bài viết
Trung sĩ
hay
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 10-10-2023 - 15:30
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
#5
Đã gửi 10-10-2023 - 15:26
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 4996 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
bài này tui làm vậy dc ko: a,b,c là các số thực không âm thỏa a+b+c<= 3, vai trò a,b,c như nhau nên giả sử 0<a,b,c<=1
do đó: a^+b^<=a+b<=2 suy ra 1/a^+b^>=1/2 tương tự A>=3/2. dấu = khi và chỉ khi a=b=c=1
$a=2,b=1,c=0$ thì sao bạn?
- duong966123 và Hahahahahahahaha thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#6
Đã gửi 18-10-2023 - 13:06
HaiDangPham
-
- Điều hành viên THCS
-
- 318 Bài viết
Sĩ quan
Tìm cách khác, chưa ra, tuy vậy mình có được bất đẳng thức khá hay dưới đây.
Với điều kiện $a \geq b \geq c \geq 0 $ ta có $$\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2} \geq \frac{1}{ \left(\frac{a+b}{2} \right)^2+c^2}.$$
Bất đẳng thức trên đúng vì tương đương với $$ (a-b)^2\left[ \frac{(a+b)^2+2ab-2c^2}{4}\right] \geq 0$$ Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 18-10-2023 - 13:06
- duong966123 và Hahahahahahahaha thích
"Hap$\pi$ness is only real when shared."
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
